Una extraña condición que implica continuidad

Question

Este es un divertido problema que no puedo conseguir mi cabeza alrededor. Considere una función de $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $(\forall [a,b]\subseteq [0,1])$, $f([a,b])$ contiene la inverval con los extremos de $f(a),f(b)$ y que por cada $y\in \mathbb{R}$, la $f^{-1}(\{y\})$ es cerrado. Demostrar que $f$ es continua.

Mis pensamientos sobre esto. Enfoque 1)Considerar una secuencia $x_n\rightarrow x$ y el espectáculo $f(x_n)\rightarrow f(x)$. Esto no parece ir demasiado lejos. Enfoque 2) Deje $J$ ser cerrado. Demostrar $f^{-1}(J)$ es cerrado en $[0,1]$. Así que empiezo con 2) y considerar la posibilidad de $f^{-1}(J)$. Pero esto no tiene que ser un intervalo, así que me quedo atascado...

Answer 1

La primera condición establece que el valor medio teorema es cierto para esa función. Para funciones continuas del valor medio teorema es válido, sin embargo, el recíproco no es en general cierto, consideremos por ejemplo la función de $f(x)=\sin(1/x)$$0<x\leq1$$f(0)=0$. Es fácil ver que esta función no satisfacer la suposición adicional de closedness de la preimages de los embarazos únicos. Usted puede comenzar por la investigación de este (o ejemplos similares) para tener una idea de lo que todavía está satisfecho y donde la continuidad de falla. Con esta intuición usted probablemente será capaz de resolver el problema.