¿Por qué estas dos definiciones de representaciones inducidas son equivalentes?

Question

Vamos $F$, $G$ y $H$, respectivamente, de un campo finito de grupo y subgrupo de $G$.

Problema. Para una representación $(\sigma, W)$$H$, definir un $F$-espacio vectorial $$\widetilde W=\{f\colon G\to W\mid f(hg)=\sigma(h)f(g),h\in H,g\in G\},$$ and the action of $G$ on $\widetilde W$ is given by $(g ° f)(g)=f(gg')$. Then $\widetilde W$ is isomorphic to $F[G]\otimes_{F[H]}W$ (as $G$-representations, or in other words, as $F[G]$-módulos).

En mi álgebra conferencia, la inducida por la representación de $W$ $H$ $G$se define como el $F[G]$-módulo de $\mathrm{Ind}_H^GW:=F[G]\otimes_{F[H]}W$, y este problema se dice que estas dos definiciones son equivalentes. Sin embargo, aunque intentó, no tengo idea de cómo demostrarlo. Lo que creo que puede ser útil es una proposición que se expresa de la siguiente manera (en este caso $\mathrm{Res}_H^GV$ es la restricción de $V$$H$)

Deje $V$ ser una representación de $G$ $W$ ser un subrepresentation de $\mathrm{Res}_H^GV$. A continuación, $V\cong\mathrm{Ind}_H^GW$ si y sólo si $V$ es generado por $W$ $F[G]$- módulo de e $\dim_FV=[G:H]\dim_FW$.

Sin embargo, no sé cómo identificar a $W$ $F[H]$- submódulo de $\mathrm{Res}_H^G\widetilde W$, y mucho menos cómo verificar otras condiciones en esta proposición. Así que me gustaría preguntar si es correcto para probarlo de esta manera, o hay alguna más fáciles de la prueba?

Gracias de antemano...

Answer 1

Es bueno que hayas encontrado una solución a su problema (no he comprobado yo mismo, así que no sé si es correcta). He aquí, sin embargo, una solución de alto nivel para aquellos interesados en resumen tonterías.

Uno de los puntos de la inducción de la representación es la siguiente (natural) isomorfismo : $Hom_G(\rho, \mathrm{Ind}_H^G\pi) \cong Hom_H(\rho_{\mid H}, \pi)$ () cuando se utiliza el mapa $ K\to GL(V)$ para denotar la representación en lugar de $V$), donde $\rho_{\mid H}$ denota la restricción de $\rho$$H$, y donde $Hom_K$ es el conjunto de $K$-morfismos entre las representaciones. Usted puede comprobar que esto tiene en las dos presentaciones que dio.

Una vez que usted probar esto, entonces el hecho de que son naturalmente isomorfos sigue a partir de la categoría general de la teoría de los principios: de hecho deje $\mathbf{Rep}_K$ denotar la categoría de $F$-representaciones de $K$ para un grupo finito $K$.

A continuación, tenemos un claro functor $\mathrm{Res}: \mathbf{Rep}_G \to \mathbf{Rep}_H$ definida de objetos por $\rho \mapsto \rho_{\mid H}$ (la definición de flechas está claro); y la inducida por la representación de los rendimientos de un functor $\mathrm{Ind}_H^G: \mathbf{Rep}_H\to \mathbf{Rep}_G$ definida de objetos por $\pi \mapsto \mathrm{Ind}_H^G \pi$ y en flechas usted puede utilizar su prueba de la mencionada isomorfismo para definir (o puede definir que es la única forma posible, por ejemplo, si estamos usando la definición con los mapas de $G\to W$ : si $f : (\pi,W) \to (\pi', W')$, a continuación, $\mathrm{Ind}_H^Gf : \mathrm{Ind}_H^G \pi \to \mathrm{Ind}_H^G \pi'$ puede ser definido por $\mathrm{Ind}_H^Gf (g) = f\circ g$).

En cualquier caso, tenemos un buen functor, y el ya mencionado isomorfismo es una manera de decir que el $\mathrm{Res} \dashv \mathrm{Ind}_H^G$ (adjunto). Pero este es el caso para cualquier presentación de la inducida por la representación; y adjoints son únicos hasta el isomorfismo natural. Por lo tanto, cualquier presentación de la inducida por la representación (que satisface el isomorfismo en cuestión) es naturalmente isomorfo a, digamos, con los mapas de $G\to W$.

Answer 2

Parece que me han dado una respuesta en el mío propio, gracias a Cameron Williams.

Deje $T$ ser un conjunto de representantes de la derecha $H$-cosets de $G$. Para cada una de las $g\in T$, denotan $W_g:=\{f\in\widetilde W\mid f|_{G\setminus Hg}=0\}$. Entonces tenemos

• $\dim_F\widetilde W=[G\colon H]\dim_FW$. De hecho, cada una de las $W_g$ $F$- espacio vectorial y $W_1$ $F[H]$- módulo. Por otra parte, \begin{align} \begin{matrix} \varphi\colon W\to W_1\\ w\mapsto\sigma(\cdot)w \end{de la matriz}\quad \text{y}\quad \begin{matrix} \psi\colon W_1\to W\\ f\mapsto f(1) \end{de la matriz} \end{align} se $F[H]$-homomophisms (para $g\in G\setminus H$, $\sigma(g)w$ se define a ser $0$). Mientras que para cada una de las $w\in W$$f\in W_1$, se deduce que el $\psi\circ\varphi(w)=\psi(\sigma(\cdot)w)=w$ $\varphi\circ\psi(f)=\varphi(f(1))=\sigma(\cdot)f(1)=f$ (tenga en cuenta que $f|_{G\setminus H}=0$). Por lo tanto $\varphi$ es isomorfo. Por lo tanto $W\cong W_1$ ($F[H]$- módulos) y, a continuación, $W_1\cong W_g$ ($F$- espacios, $\forall g\in T$) y $\widetilde W=\bigoplus_{g\in T}W_g$ implica que $$\dim_F\widetilde W=|T|\dim_FW_1=[G\colon H]\dim_FW.$$

• $W\hookrightarrow\mathrm{Res}_H^G\widetilde W$. Esto ha sido demostrado en la anterior deducción: $W\cong W_1\hookrightarrow\mathrm{Res}_H^G\widetilde W$ ($F[H]$- módulos).

• $\widetilde W$ es generado por $W$ $F[G]$- módulo. Para cada una de las $g\in G$, considere la posibilidad de $gW_1$ y hemos $\forall g'\in G$, $\forall f\in W_1$, $(gf)(g')=f(g'g)$, mientras que $g'g\in H$ fib $g'\in Hg^{-1}$. Por lo tanto $$gW_1=\{f\in\widetilde W\mid f|_{G\setminus Hg^{-1}}=0\}=W_{g^{-1}},$$ y por lo tanto $$\widetilde W=\bigoplus_{g\in T}W_g=\sum_{g\in G}gW_1=\langle W_1\rangle_{F[G]}\cong \langle W\rangle_{F[G]}.$$

En todos, se deduce que el $\widetilde W\cong\mathrm{Ind}_H^GW$.