La fórmula para el número de soluciones a $x^4+y^4=1$, de Irlanda y de Rosen #8.18.

Question

Hay una secuencia de tres ejercicios en Irlanda y Rosen, de la Introducción a la Moderna Teoría de números, Capítulo 8, página 106. Puedo hacer los dos primeros, pero no puede terminar la tercera. Puedo incluir las pruebas a los dos primeros si se quería.

1. Supongamos que $p\equiv 1\pmod{4}$, $\chi$ es un personaje de la orden de $4$, e $\rho$ es un carácter de fin de $2$. Deje $N$ el número de soluciones a$x^4+y^4=1$$F_p$. Mostrar que $N=p+1-\delta_4(-1)4+2\mathrm{Re} J(\chi,\chi)+4\mathrm{Re} J(\chi,\rho)$. (Aquí se $J$ es la Jacobi suma, y $\delta_4(-1)$ $1$ $-1$ es un cuarto poder, y $0$ lo contrario.) (Solucionado.)

2. Por El Ejercicio 7, $J(\chi,\chi)=\chi(-1)J(\chi,\rho)$. Deje $\pi=-J(\chi,\rho)$. Mostrar que $N=p-3-6\mathrm{Re}\pi$ si $p\equiv 1\pmod{8}$ $N=p+1-2\mathrm{Re}\pi$ si $p\equiv 5\pmod{8}$. (Solucionado.)

3. Deje $\pi=a+bi$. Se puede demostrar (Véase el Capítulo 11, Sección 5) $a$ es impar, $b$ es aún, y $a\equiv 1\pmod{4}$ si $4\mid b$ $a\equiv -1\pmod{4}$ si $4\nmid b$. Deje $p=A^2+B^2$ y corregir $A$ al exigir que los $A\equiv 1\pmod{4}$. A continuación, mostrar que $N=p-3-6A$ si $p\equiv 1\pmod{8}$ $N=p+1+2A$ si $p\equiv 5\pmod{8}$.

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Mis pensamientos hasta ahora: sé que también puedo expresar $\pi=-J(\chi,\rho)=-\chi(-1)J(\chi,\chi)$.

Veo que $\pi\in\mathbb{Z}[i]$,$\Re(\pi)^2+\Im(\pi)^2=|\pi|^2=|-\chi(-1)J(\chi,\chi)|^2=p$. Por lo que puedo expresar $$ p=A^2+B^2=\Re(\pi)^2+\Im(\pi)^2. $$ Si puedo solucionar $A$ al exigir que los $A\equiv 1\pmod{4}$, es allí una manera a la conclusión de que la $A=\Re(\pi)$ al $p\equiv 1\pmod{8}$ $A=-\Re(\pi)$ al $p\equiv 5\pmod{8}$ para obtener el resultado deseado? Creo que si $p\equiv 1\pmod{8}$ implica $4\mid b$,$a\equiv 1\pmod{4}$, es decir, $A=\Re(\pi)$, y si $p\equiv 5\pmod{8}$ implica $b\nmid 4$, $a\equiv -1\pmod{4}$ o $-a\equiv 1\pmod{4}$, es decir, $-\Re(\pi)=A$, que es precisamente lo que quiero, pero no ver cómo llegar allí.

Si te sirve de ayuda, yo sé que $-1$ es un cuarto poder, el fib $p\equiv 1\pmod{8}$, la cual me dice $\pi=-J(\chi,\chi)$ al $p\equiv 1\pmod{8}$, e $\pi=J(\chi,\chi)$ al $p\equiv 5\pmod{8}$. A continuación,$|J(\chi,\chi)|=\Re(J)^2+\Im(J)^2=p$, pero $\Re(\pi)=-\Re(J)$ al $p\equiv 1\pmod{8}$ $\Re(\pi)=\Re(J)$ al $p\equiv 5\pmod{8}$, lo que me da el signo opuesto de lo que yo quiero.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si $(a)$ es un director ideal si $\Bbb Z[i]$ ha $4$ generadores, $a,ia,-a$, e $-ia$.
Y así, si $p$ es un primer congruente a $1$ modulo $4$, hay exactamente $8$ soluciones a $p=a^2+b^2i$, que corresponde a los generadores de los dos primos por encima de $(p)$$\Bbb Z[i]$.

Las opciones de $\pi$ e de $A+iB$ (o su parte real) corresponden a la elección de un determinado generador de esos ideales (o de un par conjugado de los generadores de los dos ideales por encima de $(p)$) :

deje $I = (1+i)$ a ser el ideal de norma $2$. A continuación, $(\Bbb Z[i]/I^3)^*$ es un grupo con $4$ elementos, naturalmente isomorfo a $\{1,i,-1,-i\}$. Así que si $(a)$ es coprime con $(1+i)$ hay una forma canónica de la elección de un generador de $(a)$ : usted tiene que tomar el que es congruente a $1$ modulo $I^3$. El resultado del Capítulo 11 de la sección 5 dice que $\pi$ es este generador para $(p)$.

En su lugar, el ejercicio quiere hacer esta elección modulo $I^4$ : pick $A+iB$ el generador, el cual es congruente a $1$ o $1+2i$ modulo $I^4$ (usted tiene que hacer una elección para cada elemento de la $(\Bbb Z[i]/I^4)^*/\langle i \rangle$).

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Si usted sabe acerca de Artin de la reciprocidad mapa, el caso en que $p$ cae corresponde a la forma en que los factores en el campo de la clase de $I^4$, que es de grado $2$$\Bbb Q(i)$, que todavía es abelian en $\Bbb Q$ (ya que todo grupo de orden $4$ es abelian), y es en realidad el rayo de campo de clase de $\Bbb Q$ de los conductores $(8)\infty$, lo cual nos indica que :
$a \in \{1,i,-1,-i\} \pmod {I^4}$ es equivalente a $N(a) \equiv 1 \pmod 8$ $a \in \{3+2i,2+3i,1+2i,2+i\} \pmod {I^4}$ es equivalente a $N(a) \equiv 5 \pmod 8$

(si no te gusta el campo de clase de teoría, usted puede fácilmente verificar esta haciendo un trabajo tedioso cálculo: $(4k+3)^2 + (4l+2)^2 \equiv 3^2 + 2^2 = 13 \equiv 5 \pmod 8$, y así sucesivamente ...)

Por lo tanto, la elección de $A+iB$ es lo mismo que $\pi$ si y sólo si $\pi \equiv 1 \equiv A+iB \pmod {I^4}$, lo que equivale a $N(\pi) = N(A+iB) = p \equiv 1 \pmod 8$,
y la elección no es el mismo si y sólo si $\pi \equiv 3+2i \equiv -(1+2i) \equiv -(A+iB)) \pmod {I^4}$, lo que equivale a $N(\pi) = N(A+iB) = p \equiv 5 \pmod 8$.

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Usted también puede encontrar el resultado sin necesidad de utilizar el resultado del capítulo $11$ (y demostrarlo), simplemente por la observación de que el número de soluciones a $x^4+y^4 = 1$ tiene que ser un múltiplo de $8$ (de hecho es congruente a $8$ modulo $16$) :

De hecho, las soluciones son las $8$ parejas $(i^k,0),(0,i^k)$, además de una serie de soluciones de $(i^kx, i^ly)$, que vienen por racimos de $16$.

Ahora, ya sabes que para $p \equiv 1 \pmod 8$, $N = p-3-6 \Re(\pi)$, consigue $0 \equiv 1-3-6\Re(\pi) \pmod 8$, por lo tanto $\Re(\pi) \equiv 1 \pmod 4$. Por lo tanto, ya que sólo hay un $A \equiv 1 \pmod 4$ tal que $p = A^2 + B^2i$, $\Re \pi$ tiene que ser de esta $A$.

Del mismo modo, para $p \equiv 5 \pmod 8$, $N = p+1-2 \Re(\pi)$, consigue $0 \equiv 5+1-2\Re(\pi) \pmod 8$, por lo tanto $\Re(\pi) \equiv 3 \pmod 4$. Y así, $\Re(- \pi) \equiv 1 \pmod 4$. De nuevo, ya que sólo hay un $A \equiv 1 \pmod 4$ tal que $p = A^2 + B^2i$, $\Re \pi$ tiene que ser $-A$.

Answer 2

Sí: el problema es que han sneakily definidas $A$ dos veces. Primero se definen $A$ como el número que es 1 modulo 4 y satisface $p=A^2+B^2$ algunos $B$. A continuación, se define de nuevo como la parte real de la $J(\chi,\chi)=A+Bi$. Ambas definiciones implican que $p=A^2+B^2$, pero hay dos números enteros que satisfacen esta condición, a saber,$A$$-A$. Sus dos definiciones son en realidad los negativos de cada uno de los otros.