Es$\mathbb{R}$ un subespacio del plano euclidiano$\mathbb{R}^2$

Question

Análisis Funcional: Kreyszig, Página 146

Dijo que$\mathbb{R}$ un subespacio del plano euclidiano$\mathbb{R}^2$. Pero$\mathbb{R}$ ni siquiera es un subconjunto de$\mathbb{R}^2$. ¿Cómo puede ser posible? Gracias por ayudar.

Answer 1

Tomo como mi definición de espacio vectorial $(\mathbb{R}^{2},+,\cdot)$ el conjunto $\mathbb{R}^{2} = \{(x,y) \, \mid \, x, y \in \mathbb{R}\}$ con las operaciones de $(x,y) + (z,w) = (x + z, y + w)$ $\lambda \cdot (x,y) = (\lambda x, \lambda y)$ con la adición y la multiplicación de las coordenadas heredado de las operaciones correspondientes en la completa ordenó campo $\mathbb{R}$. Voy a demostrar que $\mathbb{R}$ es isomorfo a un subespacio lineal de $\mathbb{R}^{2}$. En particular, voy a demostrar que $\mathbb{R} \simeq \{(x,0) \, \mid \, x \in \mathbb{R}\}$.

Definir un lineal mapa de $\Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{2}$ $$\Phi(x) = (x,0).$ $ Esta es lineal ya que \begin{align*} \Phi(x + y) &= (x + y, 0) = (x,0) + (y,0) = \Phi(x) + \Phi(y) \\ \Phi(\lambda x) &= (\lambda x, 0) = (\lambda x, \lambda \cdot 0) = \lambda (x,0) = \lambda \Phi(x). \end{align*} Por otra parte, $\Phi$ es inyectiva. De hecho, si $\Phi(x) = \Phi(y)$, luego \begin{align*} \Phi(x) = (x,0) = (y,0) = \Phi(y) \end{align*} lo que implica $x = y$ por la definición de (el conjunto) $\mathbb{R}^{2}$. Por lo tanto, $\Phi$ es inyectiva. Recordemos que la imagen de un lineal mapa es siempre un subespacio lineal de la diana. En particular, $\Phi(\mathbb{R})$ es un subespacio lineal de $\mathbb{R}^{2}$. Desde $\Phi$ es inyectiva, $\Phi : \mathbb{R} \to \Phi(\mathbb{R})$ es un bijective lineal mapa. Es inmediato que $\Phi(\mathbb{R}) = \{(x,0) \, \mid \, x \in \mathbb{R}\}$. Esto completa la prueba de que $\mathbb{R} \simeq \{(x,0) \, \mid \, x \in \mathbb{R}\}$.

Si has leído hasta aquí, espero que se trate de "dibujar" la línea de $\{(x,0) \, \mid \, x \in \mathbb{R}\}$ en el avión $\mathbb{R}^{2}$ (por ejemplo, utilizando coordenadas Cartesianas). Una imagen vale más que mil palabras.

Answer 2

Técnicamente está a la derecha y como se ha indicado en los comentarios, tal vez los autores no deben hacer esto sin explicación.

Considere la posibilidad de la $\mathbb R^2 = $ el $x$-$y$ avión $= $ "$x$- eje cruzado con la $y$-eje" = $\{(x,y)\mid x\in \mathbb R, y\in \mathbb R\}$ o de cualquier otra forma vamos a introducir este concepto a los estudiantes por primera vez.

Ahora, considerar inmediatamente la introducción de $\mathbb R^3 = $ $x-y-z$ espacio $= $ "$x$- eje cruzado con la $y$-eje cruzado con la $z$-eje" = $\{(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb R\}$

Ahora supongamos que algunos bien intencionados instructor o algún brillante estudiante de primaria, dijo que "el" $x-y$ plano y "el" $x$-eje y $y$-eje hacíamos referencia en la definición de las 2-D el avión estaba "el mismo" $x$-eje y $y$-eje como en el espacio 3D pero con $z$ estar restringido a $0$.

Sería el instructor/alumno sea correcto o incorrecto? O sería un caso de "depende de cómo se mire".

Básicamente, el autor ve $\mathbb R \subset \mathbb R^2 \subset \mathbb R^3 \subset \cdots$ través $\mathbb R^n = \mathbb R^n \times \{0\} \subset \mathbb R^n \times \mathbb R = \mathbb R^{n+1}$. En otras palabras, como el pensamiento no es un universal abstracto conjunto de ejes, y $\mathbb R^n$ $\mathbb R^{n+1}$ tienen los mismos ejes, sino $\mathbb R^n$ está restringido a $x_{n+1} = 0$.

Es legítimo? Es esto justo?

Bueno, algo así. Pero.... de verdad que no.

Es "claro" que $\mathbb R^n \times \{0\} = \{(x_1, x_2, \ldots , x_n, 0)\in R^{n+1}\}$ es isomorfo y en cada sentido equivalente. Y "no importa" que $\mathbb R^n \times \{0\}$ no son la misma cosa; en cada una de las importantes sentido de que así podría ser.

Pero luego, en el otro lado son claro no es lo mismo en todos.

Excepto en la tercera mano, ¿no? ¿Cómo fue el concepto de $A \times B = \{(a,b)\mid a \in A; b\in B\}$ cada introducido en el primer lugar? ¿"Poniendo dos elementos de dos conjuntos, uno junto a otro" sentido? Es bien definidos?

Si es así ¿qué es $A\times \emptyset = \{(a,b)\mid a \in A; b\in \emptyset\}$? ¿No significan $A\times \emptyset = \{(a,b)\mid a \in A; b\in \emptyset\} = \{(a,*) \mid a \in A\} = \{(a)\mid a\in A\} = \{a\mid a\in A\} = A$? Si no, ¿por qué no? Es cierto que el "$1$-tupla" $(a)$ no se ve como el elemento $a$ pero si son diferentes, ¿qué es exactamente la diferencia? Podemos o no podemos definir $(a,b)$ donde $b$ simplemente no existe en absoluto? es decir, si $b \in \emptyset$?

Por lógica, $A \times \emptyset = A$$\emptyset \subset B$, así que ..... lógicamente $A = A\times \emptyset \subset A\times B$. Eso es lógico ¿no?

Bien, Se siente como si alguien está tirando de un rápido uno en nosotros, pero... que son?

Voy a dejar de pensar en esto.

Answer 3

Identifique R con RX {0}, el producto cartesiano de R y {0} por el isomorfismo f (x) = (x, 0). Eso es lo que quieren decir cuando hablan de que la línea real es un subespacio del plano cartesiano.