Supongamos que tengo dos vectores desconocidos$v_1,v_2 \in \mathbb{R}^3$ y un vector conocido$v_{3} \in \mathbb{R}^3$. Conozco todos los productos internos$\langle v_i, v_j \rangle$,$1 \leq i,j \leq 3$. ¿Existe una forma cerrada (o iterativa menos dolorosa) de reconstruir$v_1$ y$v_2$? intuitivamente, parece que podría haber dos soluciones, ya que cualquier$v_1$% y$v_2$ se pueden reflejar a través del conocido$v_3$ para obtener los mismos productos internos. Sin embargo, conseguirlos a ambos sería útil. Tenga en cuenta que, en general, el problema no es invariable por rotación ya que se conoce$v_3$.
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induction601
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Deje $v_i = [a_{i1},a_{i2},a_{i3}]^T$. Como sabemos $v_3$, tenemos 6 incógnitas, por lo tanto necesitamos 6 ecuaciones.
Ya que tienes todos los interiores de producto, tenemos \begin{equation} \begin{bmatrix} v_1^T & v_2^T & v_3^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1^Tv_1 & v_1^Tv_2 & v_1^Tv_3 \\ v_2^Tv_1 & v_2^Tv_2 & v_2^Tv_3 \\ v_3^Tv_1 & v_3^Tv_2 & v_3^Tv_3 \end{bmatrix} \end{equation} y el lado derecho es conocido.
Como usted sabe,$v_3$, se obtiene a partir del 5 de ecuaciones que incluye 6 incógnitas. Tenga en cuenta que $v_3^Tv_3$ no dar ningún tipo de información.
Así tenemos 6 incógnitas y 5 ecuaciones.
Por ejemplo. vamos $v_3 = [0, 0, 1]^T$, $v_1=[1,0,0]^T$ y $v_2=[0,1,0]^T$. Aunque sabemos que todos los interiores de los productos, $v_1' = [\sin \theta, \cos \theta, 0]^T$ $v_2' = [\cos \theta, -\sin \theta, 0]^T$ va a satisfacer el interior de la condición del producto.
egreg
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Let \begin{align} v_1&=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\\ v_2&=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\\ v_3&=ae_1+be_2+ce_3 \end {align} y$\langle v_1,v_2\rangle=A$,$\langle v_1,v_3\rangle=B$,$\langle v_2,v_3\rangle=C$,$\langle v_1,v_1\rangle=P$,$\langle v_2,v_2\rangle=Q$. Las condiciones dan un sistema no lineal $$ \begin{cases} x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=A \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2=P \\ y_1^2+y_2^2+y_3^2=Q \\ ax_1+bx_2+cx_3=B\\ ay_1+by_2+cy_3=C \end {cases} $$ de cinco ecuaciones en seis incógnitas. Si el sistema es solvente, generalmente tendrá infinitas soluciones.
Primero puedes resolver la última ecuación (paramétricamente). Luego, la primera y la cuarta ecuaciones se convierten en un sistema lineal. Finalmente, debe normalizar las soluciones para satisfacer las condiciones de las normas.
Suponiendo que los vectores están en posición general, es decir, no hay dos en paralelo:
Seleccione una unidad arbitraria de vectores $t$ perpendicular a $v_3$ (el habitual truco para hacerlo de manera robusta es tomar $t = (e\times v_3)/\|e\times v_3\|$ donde $e$ es el vector con un 1 en la entrada correspondiente al mínimo de la magnitud de entrada de $v_3$, y un 0 en otra parte).
Podemos asumir $$v_1 = \alpha_1 t + \beta_1 v_3$$ $$v_2 = \alpha_2 t + \beta_2 v_3 + \gamma_2 t\times v_3$$
Ahora $$\beta_1 = v_1\cdot v_3 / \|v_3\|^2$$ $$\alpha_1 = \sqrt{\|v_1\|^2 -\beta_1^2\|v_3\|^2}$$ $$\beta_2 = v_2\cdot v_3 / \|v_3\|^2$$ $$\alpha_2 = \frac{v_1\cdot v_2 - \beta_1 v_2\cdot v_3}{\alpha_1}$$ $$\gamma_2 = \pm \sqrt{\frac{\|v_2\|^2 -\alpha_2^2 - \beta_2^2\|v_3\|^2}{\|v_3\|^2}}.$$
La respuesta es, por supuesto, sólo es única, hasta un (1) selección de $t$ y (2) la selección de la señal de $\gamma_2$, es decir, la imparcialidad de la resultante de $(v_1,v_2,v_3)$ cuadro de coordenadas. Hay dos liso familias de soluciones.
