Caracterización de una esfera: ¿las subesferas tienen dos centros (antípodas)?

Question

Supongamos que se nos da una variedad riemanniana $M$ (tiene dimensión $n$ es métricamente completa y conectada) con la siguiente propiedad: para cada punto $p\in M$ y para cada radio $0\leq R$ hay otro punto $q(p,R)\neq p$ y el radio $R'(p,R)\in \mathbb{R}$ tal que $$S(p,R) = S(q(p,R),R'(p,R))$$ donde, siempre y cuando $Q\geq 0$ , $S(a,Q)\subset M$ es el conjunto de puntos que están a una distancia $Q$ de $a\in M$ (Si $Q<0$ , $S(a,Q)$ se acuerda que esté vacío).

Q : Es $M$ isométrico a un $n$ -¿esfera dimensional?

(Para ver por qué una esfera tiene la propiedad mencionada, defina $q(p,R)$ simplemente para ser el punto antipodal a $p$ y definir $R'(p,R)=\pi R^*-R$ donde $R^*$ es el radio de la esfera)

Asegúrese de echar un vistazo a una, prácticamente idéntica, pregunta He preguntado en mathoverflow

Answer 1

I) Para $p$ tenemos el punto antipodal $q$ s.t. $$M= B_r(p)\cup B_R(q)$$ y $(S:=)\ \partial B_r(p)=\partial B_R(q)$ .

Para $x\in S$ existe una geodésica minimizadora de velocidad unitaria $c$ (resp. $c_2$ ) de $p$ a $x$ (resp. de $q$ a $x$ ).

Para los pequeños $\varepsilon>0$ , tenga en cuenta que $c'(r)$ es ortogonal a $T_{x}\ \partial B_{\varepsilon } \bigg(c(r-\varepsilon )\bigg)$ .

Y $c_2 '(R)$ es ortogonal a $T_{x}\ \partial B_{\varepsilon } \bigg(c_2 (R-\varepsilon )\bigg)$ .

Aquí $B_r(p)$ contiene $ B_{\varepsilon } \bigg(c(r-\varepsilon )\bigg)$ y $B_R(q)$ contiene $ B_{\varepsilon } \bigg(c_{2} (R-\varepsilon )\bigg)$ .

Por lo tanto, los interiores de $ B_{\varepsilon } \bigg(c(r-\varepsilon )\bigg)$ y $ B_{\varepsilon } \bigg(c_{qc(r)} (R-\varepsilon )\bigg)$ no se cruzan para que la unión de $c$ y $c_2$ es suave.

ii) Locus de corte ${\rm Cut}\ (p)$ de $p$ es $\{q\}$ : Si $x\in {\rm Cut}\ (p)\cap {\rm Int}\ B_R(q)$ s.t. hay al menos dos geodésicas minimizadoras de $p$ a $x$ , entonces las geodésicas pasan por $S$ . Por lo tanto, $x=q$ .

Por lo tanto, $\exp_p\ tv,\ t\in [0,r+R]$ se minimiza para todos los $|v|=1$ .

Si ${\rm diam}\ M=d(a,b)$ , entonces esto implica que $d(a,b)\leq r+R$ .

Así que cualquier punto y su punto antipodal dan un diámetro tal que es isométrica a una esfera.