Mentira derivados vs derivada covariante en el contexto de la Matanza de vectores

Question

Permítanme comenzar diciendo que I comprender las definiciones de la Mentira y la covariante derivados, y sus diferencias fundamentales (al menos eso creo yo). Sin embargo, cuando el aprendizaje acerca de la Matanza de los vectores descubrí que realmente no tienen una comprensión intuitiva de las situaciones en las que cada uno se aplica, y cuando el uso de uno sobre el otro.

Una propiedad importante de un Asesinato vector $\xi$ (que puede incluso ser considerado en la definición) es que $\mathcal{L}_\xi\, g = 0$ donde $g$ es el tensor métrico y $\mathcal{L}$ es la mentira de derivados. Esto, dice, de una manera, que la métrica no cambia en la dirección de $\xi$, que es una noción que tiene sentido. Sin embargo, si usted me hubiera preguntado ¿cómo se manifiesta la idea de que la métrica no cambia en la dirección de $\xi$, me hubiera ido con $\nabla_\xi g = 0$ (donde $\nabla$ es la derivada covariante), ya que hasta donde yo sé la derivada covariante es, en la relatividad general, la manera de generalizar ordinarios derivados a los espacios curvos.

Pero, por supuesto, que no puede ser, ya que en la relatividad general, utilizamos la de Levi-Civita de conexión y por lo $\nabla g = 0$. Parece que $\mathcal{L}_\xi\, g = 0$ es la única manera de decir que la derivada direccional de $g$ se desvanece. ¿Por qué es esto? Si yo no sé que $\nabla g = 0$, ¿hay alguna manera para mí de manera intuitiva, supongo que "$g$ no cambia en la dirección de $\xi$" debe ser expresado con la Mentira de derivados? También, la Mentira derivado no es sólo una derivada direccional desde el vector $\xi$ se distinguen demasiado. Es que esto de ninguna consecuencia, aquí?

Answer 1

Buena pregunta. Una manera de pensar acerca de esto es que, dada una métrica $g$, la declaración de $\mathcal L_Xg = 0$ dice algo acerca de la métrica, mientras que el $\nabla_Xg = 0$ dice algo acerca de la conexión. Ahora lo $\mathcal L_Xg = 0$ dice, es que el flujo de $X$, donde se define, es una isometría de la métrica, mientras que $\nabla_Xg = 0$ dice que $\nabla$ transporta a un par de vectores tangente a lo largo de las curvas integrales de $X$ de tal manera que su producto interior sigue siendo el mismo.

Como un ejemplo, considere la mitad superior del plano de modelo del plano hiperbólico. Su métrica es $y^{-2}(dx^2 + dy^2)$, por lo que claramente $\partial_x$ es Matar a un campo de vectores; su flujo horizontal de la traducción, es una isometría. El hecho de que $\nabla_{\partial_x}g = 0$ no dice nada acerca de $g$, pero sí dice que Euclidiana transporte paralelo es compatible con este direccional derivada de la conexión.

Ahora considere el $\partial_y$. Por supuesto, esto no es Matar a un campo de vectores, ya que la vertical de la traducción no es una isometría. La conexión puede realizarse de manera (por el teorema de Levi-Civita) que un par de vectores tangente puede ser paralelo transportados de tal forma que el producto interior se conserva.

EDITAR

Creo que tengo más ilustrativo ejemplo: considere la esfera incrustado en $\Bbb R^3$. Escoge un eje y tomar el vector de velocidad de campo $\xi$ asociado a la rotación alrededor del eje en algún velocidad angular constante. También considere la posibilidad de un segundo campo de vectores $\zeta$ que está en todas partes (en un barrio del ecuador, se extienden en cualquier manera suave hacia los polos) proporcional a $\xi$, pero que tiene una velocidad constante en todas partes, algo como en esta imagen

(descargado de esta página).

Obviamente $\xi$ es un campo de muerte, como se integra a una isometría. Una manera inmediata a ver que $\zeta$ no es, es por señalar que las curvas paralelas a la línea del ecuador permanecer paralelos al ecuador bajo el flujo de $\zeta$, por lo tanto para hacer su tangente vectores. Lo que sucede en una curva cuyo vector tangente en el ecuador apunta hacia un polo, es que el flujo de $\zeta$ mueve el punto en el ecuador más de un ángulo menor que un punto sobre el ecuador, por lo que estos dos vectores no permanecen perpendiculares. Para el transporte paralelo en el otro lado, dos perpendiculares vectores tangente a un punto en el ecuador seguirá siendo perpendicular tanto en $\xi$ y en $\zeta$, ya que sólo dependen de la restricción a los campos vectoriales para el ecuador, donde son iguales. Esto no dice nada sobre el campo de vectores de generación de una isometría, es decir, Matar a un campo de vectores.

Answer 2

Como los productos derivados, la Mentira y la covariante derivados de involucrar la comparación de los tensores en diferentes puntos en el colector. Se diferencian en la receta dada por la comparación de los tensores en dos puntos diferentes.

La clave del concepto de derivada covariante $\nabla_\xi = \xi^a\nabla_a$ es transporte paralelo. Se define de modo que cuando usted se mueve a lo largo de una geodésica en la dirección de la $\xi^a$, el interior de los productos entre el paralelo transportados vectores se conservan. Este producto interior implica necesariamente la métrica (que es básicamente lo que la métrica es), por lo que la derivada covariante es también, necesariamente, de métrica-dependiente. Para que esta definición tenga sentido, también es importante que la métrica es paralelo transportados en todas las direcciones, lo que lleva a definir la condición de que usted está probablemente consciente de, $\nabla_a g_{bc}=0$.

Por el contrario, la Mentira derivado $£_\xi$ da el cambio en un tensor debido a un diffeomorphism. Le dice cómo un tensor de cambios debidos a una familia de un parámetro de diffeomorphisms siguientes flujos de los vectores $\xi^a$. Desde diffeomorphisms no hacen referencia a una métrica, una de las propiedades clave de la Mentira de los derivados es que no depende en absoluto de lo que la métrica es!

Otra muy buena manera de pensar en la Mentira de los derivados es el uso de un sistema de coordenadas adaptado para el vector $\xi^a$, por lo que tiene componentes de $\xi^\alpha = \delta^\alpha_0$. A continuación, en este sistema de coordenadas, la Mentira derivada es simplemente la derivada parcial $\partial/\partial x^0$. La matanza de la ecuación en este sistema de coordenadas es $£_\xi g_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^0}g_{\alpha\beta} = 0$, es decir, la métrica no depende de la coordenada $x^0$. Esto debería hacer gran sentido intuitivo de ahora: la métrica es la misma, incluso como flujo para diferentes valores de $x^0$.

Esperemos que esto ilustra las grandes diferencias entre los dos derivados: la derivada covariante debe ser utilizado para medir si un tensor es paralelo transportados, mientras que la Mentira derivados mide si un tensor es invariante bajo diffeomorphisms en la dirección del vector $\xi^a$.

Answer 3

Deje $T$ ser algunos de tensor de campo, $V$ un campo de vectores, de forma intuitiva:

• Derivada covariante $\triangledown_V T$ mide qué tan lejos está un tensor de ser paralelo transportado a lo largo de un campo de vectores $V$.

• Mentira derivado $\mathcal L _V T$ mide la cantidad de un tensor de cambios en el parámetro-grupo de transformaciones generadas por el campo vectorial $V$.

Transporte paralelo es una muy noción específica que depende de la conexión que usted elija. De hecho, uno puede posiblemente elija una conexión en paralelo de transporte no tiene la interpretación geométrica como la 'geometría transportados a lo largo de una curva'. En ese caso, todos los que la derivada covariante de las medidas es " cómo los diferentes $T$ es a partir de algunos otros arbitraria tensor $S$ donde $S$ es un tensor que es paralela a transportar.

Por otro lado, como usted bien sabe, la Mentira derivado no tiene ese tonto de la dependencia en la conexión. Por definición mide el cambio del tensor a lo largo de una curva integral de $V$, siempre.

Answer 4

La noción de derivada requiere una noción de comparación. En un colector general, los vectores de tangentes en diferentes puntos pertenecen totalmente diferentes espacios vectoriales (véase la nota 1), por lo que debemos definir una manera de asignar un vector tangente a otro espacio de la tangente que vamos a tomar, por definición, a ser el de los "invariantes" imagen " del vector en el nuevo espacio de la tangente, de modo que podemos comparar su imagen bajo otras transformaciones con esta invariante de la imagen para los fines del cálculo de un "derivado" a través de la correspondiente limitación de proceso(véase la nota de pie de página 2). Este no es exactamente como el de la escuela primaria y coordinar dependiente de la noción de derivada, así que hacer que nuestra definición de lo que nuestro derivada es lo más parecido a la primaria en cuanto a sus propiedades algebraicas. El Liebnitz producto de la regla es la más importante entre estos, y tanto la Mentira y la covariante derivados son derivaciones en el álgebra de suave campos vectoriales sobre un colector: ambos cumplen la regla de Leibnitz (véase la nota 3) y ambos son coordinar libre definiciones.

Así que creo que me gustaría resumir una respuesta a esto: en el sentido de que no es más que una manera de definir a los "invariantes" imagen " de un vector tangente para calcular un "derivado", no hay una noción de una "derivada direccional". Ambas son derivadas direccionales.

Una Mentira derivada es la derivada de un campo vectorial a lo largo del flujo de un "punto de referencia", $\xi$ en su notación. Es como si un pionero de la surveyor ha asignado el colector para usted de antemano por la que se establece un campo que podemos utilizar para comparar todos los demás campos. Todo se mide por su relación con $\xi$.

Yo diría que un poco más acerca de la Mentira de los derivados en mi sitio web: la discusión es acerca de un cuarto de camino a través de esta página, en torno a la Figura 11.1:

"Mentira Grupos de Colectores: La Mentira Convencional Definición de Grupo de 2"

En contraste, la derivada covariante no necesita de un "punto de referencia". Todo se define en términos de la métrica, que en la física es la física, la" cosa - se define lo que las mediciones de longitud, nosotros, como pequeñas criaturas que viven en el colector va a hacer. Se puede visualizar así: incrustar el colector en un mayor dimensional Euclideano (o Minkowskian) el espacio a través de un isométrico incrustación de objetos (por Nash del teorema, esto siempre se puede hacer). A continuación, calcular la tangente vectores en el más habituales derivados. La de Levi-Civita derivada covariante (otras son posibles) de algunos de los vectores a lo largo de la dirección de un vector tangente es el componente de la "primaria" derivada direccional (en las dimensiones superiores de la incrustación de espacio) del vector que es tangencial a la multiplicidad. Nos tiramos a la componente normal como ser debido a la flexión del colector de sí mismo, sino que debido a la "intrínseca" de la variación de la geometría del objeto que estamos tratando de medir.

También podemos definir la derivada covariante sin el espacio dimensional superior de manera abstracta como una conexión sin la métrica. Hay entonces dos tensores que uno define abstracty para medir la desviación de un colector de su cumplimiento de la de Euclides postulado paralelo, la curvatura y la torsión. Estos son ambos cero en un barrio si y sólo si el postulado de las paralelas de Euclides tiene todo el vecindario. Se puede demostrar, en una de Riemann colector, donde se puede definir una métrica, que no hay una única conexión definida en este camino que tiene una fuga de torsión, y todos los noneuclidean comportamiento es, pues, codificado en la curvatura.

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Notas a pie de página:

1. Creo que de los planos tangentes a la 2-esfera incrustado en 3 dimensiones el espacio Euclidiano: dos planos tangentes son, en general, totalmente diferentes espacios vectoriales.

2. Históricamente, Élie Cartan y finales de los 19 y principios de siglo 20 del siglo geómetras primer pensamiento en términos de la tangente a los planos de rodadura sin deslizamiento sobre una de dos dimensiones del colector de hacer esta asignación.

3. Si no has mirado en la noción de una derivación antes de hacerlo. Es sorprendente la cantidad de primaria cálculo diferencial que pueden derivarse de la Leibnitz producto de la regla de solo.