¿Cuál es el significado físico de la relación $E=3NkT$ para el gas clásico ultrarrelativista? ¿Por qué es mayor que el gas ideal para el que $E=(3/2)NkT$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Buena pregunta. A veces nos acostumbramos a un hecho determinado, como la equiparación con $(1/2)kT$ por grado de libertad, que olvidamos que no siempre es cierto, o qué supuestos se requieren para que sea cierto. He tenido que refrescar la memoria sobre cómo funciona la equipartición.
Básicamente el $(1/2)kT$ del teorema de equipartición es un caso especial que sólo funciona si la energía está formada por términos que son proporcionales a los cuadrados de las coordenadas y los momentos. El 1/2 proviene del exponente de estos cuadrados.
El artículo de WP sobre la equipartición tiene una discusión sobre esto. Hay un teorema general de equiparación que dice que
$$\langle x \frac{\partial E}{\partial x} \rangle = kT,$$
donde $x$ puede ser una coordenada o un momento conjugado. Si $E$ tiene un término proporcional a $x^m$ la derivada parcial tiene un factor de $m$ en él. En el caso ultrarelativista, donde $E\propto\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}$ En realidad no se tiene una dependencia de los momentos (componentes del momento) que se descomponga en términos proporcionales a una potencia de cada momento. Sin embargo, creo que es bastante fácil ver por qué terminamos con el resultado que tenemos, porque en una dimensión, tenemos $|\textbf{p}|=|p_x|$ que sí tiene la forma correcta, con un exponente de 1.
Toby 19
Puntos
1
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la diferente relación energética no cambia la ecuación de estado del gas. Para un gas clásico sin interacciones, el Hamiltoniano no depende de la posición, por lo que podemos ver inmediatamente que la función de partición $Z\sim V^N$ y por lo tanto $$p = \frac{\partial}{\partial V}(kT\log{Z})=\frac{NkT}{V}$$ Por tanto, un gas ultrarrelativista se comporta como un gas ideal a muchos efectos. La diferencia de energía puede interpretarse en términos de grados de libertad. El $N$ Los átomos son, en ambos casos, libres (sin interacciones) y no llevan modos rotacionales o vibracionales. La equiparación de energía nos dice entonces que para el gas ideal clásico cada modo lleva una energía $\frac{1}{2}kT$ mientras que en el caso ultrarrelativista la energía es el doble, $kT$ . Esto está muy bien explicado en este Página de Wikipedia . La razón de la diferencia es esencialmente que $H\sim p^2$ en el caso ideal, mientras que $H\sim p$ en el caso ultrarrelativista.
En cuanto a las consecuencias físicas, la ecuación de la energía te dice exactamente lo que necesitas: a la misma temperatura, un gas ultrarrelativista tendrá el doble de energía que un gas ideal. La razón por la que es exactamente dos se explica por el teorema de equipartición.
