Mi profesor nos mostró los siguientes falsa la prueba, lo que mostró que los números complejos no existen. Nos dijeron que para encontrar el punto donde una incorrecta paso fue dado, pero no pude encontrarlo. Aquí está la prueba: (los números Complejos son de la forma $\rho e^{i\theta}$, por lo que la prueba comienza allí) $$\large\rho e^{i\theta} = \rho e^{\frac{i\theta*2\pi}{2\pi}} = \rho (e^{2\pi i})^{\frac{\theta}{2\pi}} = \rho (1)^{\frac{\theta}{2\pi}} = \rho$$ $$Note: e^{i\pi} = -1, e^{2\pi i} = (-1)^2 = 1$$ Desde que empezamos con la forma general de un número complejo y simplificado para un número real (es decir, $\rho$), la prueba puede afirmar que sólo los números reales existen y los números complejos no. Mi sospecha es que el error se produce en el paso $4$$5$, pero no estoy seguro de si esto es realmente el caso.
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El error está en suponer que la $(\forall a,b\in\mathbb{C}):e^{ab}=(e^a)^b$.
Es peor que mal, no tiene sentido. La razón por la que no tiene sentido es porque $e^a$ puede ser cualquier número complejo (a excepción de que no puede ser $0$). Y lo que es $z^w$ donde $z,w\in\mathbb C$? Una definición razonable es que significa $e^{w\log z}$ donde $\log z$ es un logaritmo de $z$. Problema: todos los no-cero número complejo tiene una infinidad de logaritmos: si un número $\omega$ es un logaritmo, entonces cada número de la forma $\omega+2k\pi i$ ($k\in\mathbb Z$) también es un logaritmo.
