Sabemos que una moneda es un dado justo con una probabilidad de 50-50 para dos alternativas. Del mismo modo, los cinco Sólidos platónicos son dados justos. Eso hace seis sólidos que pueden ser dados justos, pero ¿puede haber más? Un ejemplo podría ser dos tetraedros pegados a lo largo de una cara. El sólido resultante no es platónico, ya que dos vértices tienen tres caras que se juntan en ellos, mientras que tres de ellos tienen cuatro caras que se juntan en ellos. Sin embargo, esto también puede ser un dado regular por lo que veo, ya que todas las caras son idénticas. La pregunta es, ¿cuántos sólidos pueden existir que puedan ser utilizados como dados regulares?
Respuestas
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Infinitas. Por ejemplo, creo que tomando la intersección de $n $ esferas idénticas con radios adecuados y centros en los vértices de una $n $ -polígono, se crea un dado justo con $n $ resultados. Un ejemplo con 3 lados sería similar al siguiente:
Chkhartishvili, Levan y Suryamurthy, Gokul. (2015). Volumen de intersección de seis esferas: Un caso especial de interés práctico. Nano Studies. 11.]
Si nos limitamos a los poliedros, se podría construir una generalización de su ejemplo de los dos tetraedros: basta con construir dos pirámides regulares idénticas con $n$ -y pegarlas para que las dos bases coincidan. Así se obtiene un dado justo con $2n$ resultados.
Por último, aunque todas las respuestas (incluida ésta) se centran en sólidos con lados de igual superficie, no tiene por qué ser así. Puede haber lados adicionales con superficie arbitraria siempre que el dado no pueda aterrizar y permanecer en ese lado, por ejemplo cuando la proyección del centro de masa cae fuera del casco convexo del lado. Por ejemplo, un lápiz afilado por ambos lados: 
(Se requiere cierta simetría de estos "lados imposibles" para que no alteren las probabilidades de los otros lados).
Glenna Batson
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6
Este problema se abordó en un trabajo de 1989 de Diaconis y Keller titulado " Dados justos " que apareció en el Boletín Mensual de Matemáticas de Estados Unidos Vol. 96, No. 4, pp. 337-339.
Allí definen que un dado es "justo por simetría" si es un poliedro convexo cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre las caras. Determinan todos los poliedros de este tipo.
Los poliedros que son justos por simetría son duales de los poliedros simétricos respecto a sus vértices. Cada grupo de simetría de un poliedro justo está representado por un sólido regular o el dual de un sólido semirregular. Así, además de los cinco sólidos regulares hay trece poliedros individuales [los duales de los sólidos arquimedianos] y dos clases infinitas [los duales de los prismas y antiprismas] entre los poliedros justos.
En otras palabras, el Sólidos platónicos El Sólidos catalanes y el bipirámides y trapezoedros .
Random832
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270
Sólo para añadir un tipo que me sorprende que nadie haya mencionado...
Esta clase de formas se denomina " trapezoedro " o "deltoedro", y puede extenderse a cualquier número par de caras. Por lo general, se utiliza para números que no son múltiplos de cuatro, y en su lugar se utiliza una dipirámide para aquellos, de modo que una cara está orientada hacia arriba cuando se apoya en una superficie plana.
Un cubo, y posiblemente un tetraedro, es un ejemplo de trapezoedro. Un octaedro es una dipirámide.
Jun_in_Jeju
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11
Todas las respuestas aquí son muy informativas e interesantes. Me encontré con otra familia de formas que actuará como un dado justo llamado el tetartoide . Es una versión distorsionada de un dodecaedro. Relaja el criterio de que todas las caras sean polígonos regulares, pero exige que todas las caras sean equivalentes. Me pareció que esto no se mencionaba directamente en ninguna de las respuestas, así que vale la pena añadirlo.
Shabaz
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403
Suponiendo que el criterio es que la probabilidad de descansar en cualquier cara es la misma hay un número infinito, pero no sé cómo definirlos. Piensa en dos regulares $n-$ gon prismas, uno largo como una aguja y otro plano como una tortita. Cada uno aterrizará en las caras rectangulares por igual, pero el primero casi nunca aterrizará en un extremo y el segundo casi siempre lo hará. Hay una relación de longitudes en la que la probabilidad de caer en un extremo coincide con la probabilidad de caer en una cara lateral. Esto será un dado justo. Un enfoque similar se aplica a los antiprismas regulares. No he visto a nadie sugerir una forma de calcular cuál debe ser la relación de aspecto para que el dado sea justo, pero tiene que haber tal relación. El mismo argumento se aplica a los $n-$ gon pirámides y a muchos poliedros convexos. Solo hay que rodar y si una cara es demasiado probable como base hacerla más pequeña, si no es lo suficientemente probable hacerla más grande.
