¿Qué es una intuición detrás de permutaciones conjugadas?

Question

Sé la definición de permutaciones conjugadas. $$\exists p \quad p^{-1} \alpha p=\beta$ $ Así que el $\alpha$ $\beta$ es un par de permutaciones conjugadas. ¿Pero puede alguien puede dar algun ejemplo conciso, vivo para describir permutaciones conjugadas? ¿Que me ayude a entender la relación del $\alpha$ y $\beta$ intuitivamente? Soy un novato en teoría del grupo.

_{Primera vez aquí. Si hay algo inadecuado en mi especificación, dígame por favor.}

Answer 1

Conjugación de una permutación es lo mismo que cambiar el nombre los objetos sobre la que actúa su grupo de permutaciones. Por lo tanto, dos permutaciones son conjugada iff que actúan en la "misma manera", sólo en diferentes elementos. Por ejemplo, en $S_5$, las permutaciones $(123)(45)$y $(145)(23)$ son conjugado, ya que esencialmente hacen lo mismo.

Answer 2

Un poco más explícita:

Digamos que usted tiene la permutación $\alpha$ con $\alpha(1) = 3$, $\alpha(2) = 1$, $\alpha(3) = 2$. Digamos que su miedo a los números, para hacer de este permutación amable que el uso de las letras en su lugar. Re-etiquetar $1$ $a$, $2$ como $b$, $3$ como $c$ para obtener una nueva permutación $\beta$ de las cartas de $\{a,b,c\}$. Tenemos $\beta(a) = c$, $\beta(b) = a$, $\beta(c) = b$.

Para averiguar más cuidadosamente lo que está pasando, definir $p:\{a,b,c\} \rightarrow \{1,2,3\}$$p(a) = 1,p(b) = 2, p(c) = 3$, por lo que el $p$ es el "traductor" entre los conjuntos de símbolos. Quieres saber donde $\alpha$ debe hacer en esta traducido alfabeto. Para averiguar lo que debe suceder a $a$, traducir primero: $p(a) = 1$. A continuación, aplicar $\alpha$: $\alpha(1) = 3$. Por último, se vuelve a traducir en el uso de $p^{-1}$: $p^{-1}(3) = c$. Así que la "traducción" de la versión de $\alpha$ es el mapa $\beta = p^{-1} \alpha p$$\beta(a) = c$. W llegar $$\beta(a) = p^{-1}\alpha p(a) = p^{-1} \alpha(1) = p^{-1}(3) = c,$$ $$\beta(b) = p^{-1} \alpha p(b) = p^{-1} \alpha(2) = p^{-1} (1) = a,$$ $$\beta(c) = p^{-1} \alpha p(c) = p^{-1} \alpha (3) = p^{-1} (2) = b$$ que es lo que queremos.

Aquí estamos usando dos conjuntos de símbolos, $\{1,2,3\}$$\{a,b,c\}$, pero bien podría etiquetar de nuevo utilizando el mismo conjunto de símbolos $\{1,2,3\}$$\{1,2,3\}$. La misma idea funciona, y entonces usted tiene la noción de conjugacy en $S_n$: si $\beta = p^{-1} \alpha p$, $\beta$ está dado por tomar $\alpha$ y reetiquetado de los símbolos mediante la $p$ como una "traducción".