¿Podría alguien explicar qué significa un átomo en el álgebra booleana? Conozco la teoría de anillos y la teoría de grupos, pero no el álgebra de Boole. Por lo que veo, es algo parecido a un generador, pero no exactamente... Su ayuda será muy apreciada. Gracias de antemano.
Añadido: Sería especialmente útil si se pudiera situar en el contexto de los anillos o grupos. Creo que existen entidades como los anillos booleanos...
Puedes pensar en las álgebras booleanas como algo que se parece un poco a un conjunto de potencias de algún conjunto $X$ . Esto está naturalmente equipado con operaciones de complemento, unión e intersección que corresponden a $-,\lor,\land$ operaciones en el álgebra booleana.
Un átomo es algo que no puede descomponerse en dos subconjuntos propios, esto es muy parecido a un singleton que no puede escribirse como una unión de dos subconjuntos estrictamente menores.
De hecho, cuando volvemos al mundo de las álgebras booleanas, $a\in B$ es un átomo si siempre que $b\lor c=a$ o bien $b=a$ ou $b=0$ .
Un átomo es un elemento mínimo no nulo.
$x$ es un átomo si para cada $y$ , ya sea $y\wedge x = x$ ou $y\wedge x = 0$ .
En algunas álgebras booleanas no hay átomos. Estas se denominan sin átomos Álgebras booleanas. Un ejemplo es el álgebra booleana contablemente infinita generada libremente por $a_1,a_2,a_3,\ldots$ . Todo elemento se puede alcanzar tomando encuentros, uniones y complementos de un número finito de éstos. Ningún elemento $x$ puede ser un átomo ya que si $x$ puede formarse tomando encuentros, uniones y complementos de $a_1,\ldots,a_n$ entonces $x\wedge a_{n+1}$ no es ni $x$ ni $0$ .
En algunas álgebras booleanas, para cada elemento $a$ hay algún átomo $x\le a$ . Estos se llaman atómico Álgebras booleanas. Por ejemplo, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto cualquiera es un álgebra booleana en la que cada conjunto único es un átomo.
En algunas álgebras booleanas, hay átomos y hay algunos elementos sin átomos por debajo de ellos. Por ejemplo, el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de $C\cup\{2\}$ , donde $C$ es el conjunto de Cantor.
Algunas personas utilizan el término "no atómico" en lugar de "sin átomos". Creo que es una mala idea, porque "no atómico" se confunde fácilmente con "no atómico", que no es lo mismo. Mi tercer ejemplo anterior no es ni atómico ni sin átomos. Preferiría no tener que explicar que no es ni atómico ni no atómico.
Si $B$ es un álgebra booleana, entonces $x \in B$ es un átomo si, para todo $y \in B$ , ya sea $x \wedge y = x$ ou $x \wedge y = 0$ . Intuitivamente, es una especie de elemento mínimo: la forma de pensar es "si $x$ es un átomo y $0 \le y \le x$ entonces $y=0$ ou $y=x$ ".
En un anillo booleano $R$ podemos pensar en $\wedge$ como multiplicación, por lo que tenemos que si $x$ es un átomo, entonces $xy=x$ ou $xy=0$ para todos $y \in R$ .
Por ejemplo, dejemos que $X$ sea un conjunto, y que $R = \mathcal{P}X$ sea su conjunto de potencias y defina la multiplicación de conjuntos por intersección y la suma por diferencia simétrica. Entonces el elemento cero es $\varnothing$ y los átomos son los elementos $A \subseteq X$ de manera que siempre que $Y \subseteq X$ o bien $A \cap Y = A$ ou $A \cap Y = \varnothing$ . Es decir, los átomos de $\mathcal{P}X$ son precisamente los singletons $\{ x \}$ y $\varnothing$ .
Si $(B,\cup,\cap,\lnot,0,1)$ es un álgebra booleana, el anillo booleano es el mismo álgebra con $\cap,0,$ y $1$ correspondiente a $\times,0,$ y $1$ respectivamente, en el anillo, y $x+y = (x\cap \lnot y)\cup(\lnot x\cap y)$ . Desde este punto de vista, lo más útil es observar los "co-átomos", los elementos del álgebra booleana cuyos complementos son átomos.
Esto es porque, cuando consideramos un álgebra booleana como un anillo, los ideales del anillo resultan ser conjuntos $I$ tal que, si $x,y\in I$ entonces $x\cup y\in I$ y, si $x\in I$ , $y$ cualquier elemento, $x\cap y\in I$ . Que tales conjuntos son ideales es fácil de demostrar. Para demostrar que todos los ideales del anillo booleano satisfacen esta propiedad, basta con demostrar la siguiente fórmula: $$x + y + (x\cap y) = x\cup y$$
Si $x$ es un elemento cualquiera, el ideal del anillo, $\left<x\right>$ generado por $x$ es el conjunto de $y$ tal que $x\cap y = y$ .
Ahora, resulta que $x$ es un co-átomo si y sólo si $\left<x\right>$ es un ideal máximo del anillo.
Así que $a$ es un átomo de su álgebra booleana si y sólo si $\left<\lnot a\right>$ es un ideal máximo del anillo booleano. Entonces $B/\left<\lnot a\right>\cong \mathbb Z/\left<2\right>$ .
Sin embargo, no todos los ideales máximos de un álgebra booleana corresponden necesariamente a átomos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
