Probar si $a$ es un número verdadero no negativo y $n$ es un número entero positivo, existe un $b \geq 0$ tal que $b^n = a$

Question

Este es el Teorema 7.5 en Fundamentos de Análisis Matemático por Johnsonbaugh y Pfaffenberger.

Al final de la prueba en el libro, queremos demostrar por contradicción que $b^n < a$ $b^n > a$ no son verdad. La prueba en el libro excluye la parte de $b^n > a$. El texto que sugiera que se ha demostrado de una manera similar a $b^n<a$, pero me parece que no puede averiguar cómo configurar las variables para probar $b^n > a$ no es cierto.

Aquí está la prueba en el libro:

Mi problema radica en que "del mismo modo, una muestra que $a < b^n$ es falso...". Cómo se hace esto?

Answer 1

$b$ es un menos límite superior. Hacer las mismas desigualdades $(b-\frac{1}{m})^n$. Entonces usted conseguirá que $(b-\frac{1}{m})^n > a$ y $b$ no es un menos límite superior. $$ \Big(b-\frac{1}{m}\Big) ^ n = \sum_{k = 0} ^ n (-1) ^ k {n \choose k} b ^ k\frac {1} {m ^ {n-k}} = b ^ n + \sum_{k = 0} ^ {n-1}(-1) ^ b k {n \choose k} ^ k\frac {1} {m ^ {n-k}} > b ^ n - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\delta}{n} = a $$