¿Es equivalente a un $|\cdot|_{\mathfrak{p}}$ cada valor absoluto de Arquímedes no en un campo?

Question

Deje $K$ ser una expresión algebraica campo de número, es decir, un campo finito de extensión de $\Bbb{Q}$. Me gustaría demostrar que todo no arquimedianos valor absoluto en $K$ es equivalente a $$ |x|_{\mathfrak{p}} := N_K(\mathfrak{p})^{-\text{ord}_{\mathfrak{p}}(x)} $$ para algunos el primer ideal $\mathfrak{p}$ $\mathcal{O}_K$ donde $|0|_\mathfrak{p} = 0$ por la convención y, en caso contrario $\text{ord}_{\mathfrak{p}}(x)$ es el exponente de $\mathfrak{p}$ en la factorización prima de $(x)$, y donde $N_K(\mathfrak{p}) = |\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}|$ es la norma absoluta de $\mathfrak{p}$.

Cuestión preliminar: Es esto realmente cierto?

Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Sé que la finalización de $K$ con respecto a un no-arquímedes valor absoluto es isomorfo a un número finito de extensión de $\Bbb{Q}_p$ para algunos el primer número $p$, y que $$ |x|_p = |N_{L/\Bbb{Q}_p}(x)|_p^{1/[L:\Bbb{Q}_p]} $$ es la única extensión de $|\cdot|_p$ a un número finito de extensión de la $L$$\Bbb{Q}_p$, pero no sé cómo concluir, a partir de aquí.

Ver también esta relacionada con la pregunta.

Answer 1

Sí, esto es cierto. El caso de $\mathbb{Q}$ es a veces llamado Ostrowski del Teorema, aunque relacionadas, los resultados también por este nombre. La prueba para el número de campos es muy similar (y a veces también llamado Ostrowski del Teorema).

Una evidencia completa se puede encontrar aquí. No es muy largo.

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Algunos adicionales (más renombre) referencias por solicitud:

En el Capítulo 2.1 de Silverman es La media Aritmética de los Sistemas Dinámicos, Ostrowski del Teorema se da. [Por cierto, me enteré de este hecho de él]. Pero se da sin la prueba. Para las pruebas, que las referencias Teorema 3, 1.4.2, de la Teoría de los números por Borevich y Shafarevich o Teorema 1, I. 2, de Koblitz del p-ádico Números de libro. No he leído ninguno de estos, pero no tengo dudas de Silverman.