Mostrando la función elíptica de Weierstrass tiene períodos

Question

Deje que $$\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{w \ \ en \Lambda^*} \left[\frac{1}{(z+w)^2}-\frac{1}{w^2}\right] $$

ser la Weierstrass elíptica función con $\Lambda=\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau$, $\Lambda^*=\Lambda-0$. Quiero mostrar que la $\wp(z+w)=\wp(z)$ siempre $w \in \Lambda$, sin el uso de la diferenciación. [Stein, Análisis Complejo p.279]

Sugirió sugerencia: Para grandes $R$, $\wp(z)=\wp^R(z)+O(1/R)$ donde $$\wp^R(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{0<|w|<R} \left[\frac{1}{(z+w)^2}-\frac{1}{w^2}\right]$$ También observar que $\wp^R(z+1)-\wp^R(z)$ $\wp^R(z+\tau)-\wp^R(z)$ $O(\sum_{R-c<|w|<R+c} |w|^{-2})=O(1/R)$

Pero no puedo entender la indirecta. Yo sé que para $|z|<R$, $\sum_{|w|>2R} \left[\frac{1}{(z+w)^2}-\frac{1}{w^2}\right]$ is $O(1/|w|^3)$ (uniformly) so defines a holomorphic function in $|z|<R$. But is the above hint also correct? $O(1/R)$ is ambiguous and restriction of $z$ seems to needed. So if I understood $\wp^R(z)$ as $$\wp^R(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{0<|w|<2R} \left[\frac{1}{(z+w)^2}-\frac{1}{w^2}\right] \quad (|z|<R)$$ But still don't know how to compare $\wp^R(z+1)-\wp^R(z)$. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Supongamos por un momento de pretender podríamos dividir la serie de la definición de $\wp$, de la siguiente manera:

$$\begin{align} \wp(z) &= \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda^\ast} \left(\frac{1}{(z+\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right)\\ &= \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega\in \Lambda^\ast} \frac{1}{(z+\omega)^2} - \sum_{\omega\in\Lambda^\ast} \frac{1}{\omega^2}\\ &= \sum_{\omega\in \Lambda} \frac{1}{(z+\omega)^2} - \sum_{\omega\in\Lambda^\ast} \frac{1}{\omega^2}. \end{align}$$

Entonces sería fácil ver la periodicidad de las $\wp$ con respecto al $\Lambda$, como la adición de algunos $\omega_0 \in \Lambda$ $z$no influyen en la segunda (constante) de la suma, y en la primera suma, se trataría únicamente de una re-indexación,

$$\sum_{\omega\in\Lambda} \frac{1}{(z+\omega_0+\omega)^2} = \sum_{\omega_0+\omega\in\Lambda} \frac{1}{\bigl(z+(\omega_0+\omega)\bigr)^2}= \sum_{\omega\in \Lambda} \frac{1}{(z+\omega)^2}.$$

Por desgracia, aunque el "resultado" es correcta, todos los $\omega_0\in\Lambda$ es un período de $\wp$, la forma de conseguir no es válido. No podemos dividir la serie en forma tal, ya que las partes no converge absolutamente (que es, después de todo, la razón para la corrección de los términos de $\frac{1}{\omega^2}$).

Así que de vuelta a la realidad. Libremente se puede dividir y reorganizar finito de sumas de dinero, y si tomamos la suma a través de una adecuada grandes subconjunto finito de la red, los términos en los importes correspondientes en su mayoría van a ser el mismo, y sólo algunos términos que aparecen en suma, pero no de la otra, de modo que la diferencia de las dos sumas es pequeño. La prueba hace que esta mano saludando precisa.

Suponiendo por el momento que el dado se estima que, en un gran $R$, tenemos

$$\begin{align} \wp(z) - \wp^R(z) &\in O\left(\frac1R\right),\\ \wp^R(z+1) - \wp^R(z) &\in O\left(\frac1R\right),\tag{1}\\ \wp^R(z+\tau) - \wp^R(z) &\in O\left(\frac1R\right), \end{align}$$

para todos los $z$ $\lvert z\rvert \leqslant 1$ (o $\lvert z\rvert \leqslant K$ para algunos positivos arbitrarios $K$), podemos discutir simplemente

$$\begin{align} \lvert \wp(z+1) - \wp(z)\rvert &= \lvert \wp(z+1)-\wp^R(z+1) + \wp^R(z+1) - \wp^R(z) + \wp^R(z) - \wp(z)\rvert\\ &\leqslant \lvert \wp(z+1)-\wp^R(z+1)\rvert + \lvert\wp^R(z+1) - \wp^R(z)\rvert + \lvert\wp^R(z) - \wp(z)\rvert\\ &\leqslant \frac{C}{R} \end{align}$$

para todos los $\lvert z\rvert \leqslant 1$, algunas constantes $C$ independiente de $R$, y todos los $R \geqslant R_{\min}$. Pero $\lvert \wp(z+1)-\wp(z)\rvert \leqslant \frac{C}{R}$ para todos lo suficientemente grande como $R$ sólo se puede mantener si $\wp(z+1) = \wp(z)$. Dado que la identidad se sostiene en un no-vacío conjunto abierto, y $\mathbb{C}\setminus \Lambda$ está conectado, se deduce que el $1$ es un período de $\wp$. El argumento de $\tau$ es el mismo.

Ahora debemos comprobar que tenemos las estimaciones $(1)$.

$$\left\lvert\frac{1}{(z+\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\right\rvert = \left\lvert\frac{z^2+2z\omega}{\omega^2(z+\omega)^2}\right\rvert.$$

Para $\lvert\omega\rvert \geqslant 2(2+\lvert\tau\rvert)$ tenemos $\lvert z+a\rvert \leqslant \lvert\omega\rvert/2$$\lvert z\rvert \leqslant 1$$a \in \{0,1,\tau\}$, por lo que tenemos

$$\left\lvert\frac{1}{(z+\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\right\rvert \leqslant \frac{C_1}{\lvert \omega\rvert^3}.$$

Por lo tanto

$$\lvert \wp(z+a) - \wp^R(z+a)\rvert = \left\lvert\sum_{\lvert\omega\rvert\geqslant R} \left(\frac{1}{(z+a+\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right) \right\rvert \leqslant C_1 \sum_{\lvert\omega\rvert\geqslant R} \frac{1}{\lvert\omega\rvert^3}.$$

Desde $\operatorname{Im}\tau \neq 0$, hay un $c > 0$ $\lvert x+y\tau\rvert \geqslant c\cdot \sqrt{x^2+y^2}$ todos los $x,y\in\mathbb{R}$, por lo que podemos estimar que la última suma por

$$\frac{1}{c^3}\sum_{m^2+n^2 \geqslant c_1\cdot R^2} \frac{1}{(m^2+n^2)^{3/2}},$$

y la estimación de la suma por una integral, obtenemos $\lvert \wp(z+a) - \wp^R(z+a)\rvert \leqslant \dfrac{C_2}{R}$ para todos los $R \geqslant 2(2+\lvert\tau\rvert)$, $\lvert z\rvert \leqslant 1$ y $a \in \{0,1,\tau\}$.

Además, lo suficientemente grande como para $R$, tenemos

$$\begin{align} \wp^R(z+1) &- \wp^R(z)\\ &= \frac{1}{(z+1)^2} + \sum_{0 < \lvert \omega\rvert < R}\left(\frac{1}{(z+1+\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right) - \frac{1}{z^2} - \sum_{0 <\lvert\omega\rvert < R} \left(\frac{1}{(z+\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)\\ &= \sum_{\lvert\omega\rvert < R} \frac{1}{(z+1+\omega)^2} - \sum_{\lvert \omega\rvert <R} \frac{1}{(z+\omega)^2}\\ &= \sum_{\lvert\omega-1\rvert < R} \frac{1}{(z+\omega)^2} - \sum_{\lvert\omega\rvert<R} \frac{1}{(z+\omega)^2}\\ &= \sum_{\lvert\omega-1\rvert < R \leqslant \lvert\omega\rvert} \frac{1}{(z+\omega)^2} - \sum_{\lvert\omega\rvert<R\leqslant \lvert\omega-1\rvert} \frac{1}{(z+\omega)^2}. \end{align}$$

Así, podemos estimar

$$\begin{align} \lvert \wp^R(z+1)-\wp^R(z)\rvert &\leqslant \sum_{\lvert\omega-1\rvert < R \leqslant \lvert\omega\rvert} \frac{1}{\lvert z+\omega\rvert^2} + \sum_{\lvert\omega\rvert<R\leqslant \lvert\omega-1\rvert} \frac{1}{\lvert z+\omega\rvert^2}\\ &\leqslant \sum_{R-1\leqslant \lvert\omega\rvert\leqslant R+1} \frac{1}{\lvert z+\omega\rvert^2}. \end{align}$$

De nuevo, podemos calcular los $\lvert m+n\tau\rvert$ $\sqrt{m^2+n^2}$ y obtener

$$\lvert \wp^R(z+1)-\wp^R(z)\rvert \leqslant \frac{C_3}{R}$$

para todos los $\lvert z\rvert \leqslant 1$$R\geqslant 2(2+\lvert\tau\rvert)$.

Básicamente el mismo cálculo se muestra

$$\lvert\wp^R(z+\tau)-\wp^R(z)\rvert \leqslant \frac{C_4}{R}$$

para todos los $\lvert z\rvert \leqslant 1$$R \geqslant 2(2+\lvert\tau\rvert)$.

Answer 2

He intentado un enfoque ligeramente diferente que creo que expone las ideas principales de un poco más clara.

Definir $$ \Omega(h,k)=\left\{\begin{array}{} 0&\text{if }h=k=0\\ 1&\text{otherwise} \end{array}\right.\la etiqueta{1} $$ y $w=h+k\tau$. Luego, con $0/0=0$ cada vez que se produce, $$ \wp(z)=\sum_{h=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty\left[\frac1{(z+w)^2}-\frac{\Omega(h,k)}{w^2}\right]\tag{2} $$ Definir $$ \wp_R(z)=\sum_{h=-R}^R\sum_{k=-R}^R\left[\frac1{(z+w)^2}-\frac{\Omega(h,k)}{w^2}\right]\etiqueta{3} $$ El uso de $(2)$$(3)$, obtenemos $$ \begin{align} \wp_R(z+\tau)-\wp_R(z) &=\sum_{h=-R}^R\left[\frac1{(z+h+(R+1)\tau)^2}-\frac1{(z+h-R\tau)^2}\right]\\ &=\sum_{h=-R}^RO\left(\frac1{R^2}\right)\\ &=O\left(\frac1R\right)\tag{4} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \wp_R(z+1)-\wp_R(z) &=\sum_{k=-R}^R\left[\frac1{(z+R+1+k\tau)^2}-\frac1{(z-R+k\tau)^2}\right]\\ &=\sum_{h=-R}^RO\left(\frac1{R^2}\right)\\ &=O\left(\frac1R\right)\tag{5} \end{align} $$ El envío de $R\to\infty$ $(4)$ $(5)$ rendimientos $$ \wp(z+\tau)=\wp(z)=\wp(z+1)\etiqueta{6} $$ Inducción y $(6)$ muestra que $\wp(z+w)=\wp(z)$ siempre $w\in\Lambda$.

Answer 3

El Consejo dice que la función $\wp^R$ es uniformemente cerca de $\wp,$ y también uniformemente casi periódicas. Que significa que el $\wp$ es uniformemente casi periódica para cualquier $R,$ por lo tanto, periódicamente.