Sé que $C[0,1]$ es denso en $L^{2}[0,1]$ pero es $\{f\in C^{2}[0,1]:f(0)=f(1)=0\}$ denso en $L^{2}[0,1]$ ?
Respuesta
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Sí, deberías seguir el consejo de Steven Gubkin y hacer un dibujo. Después de hacerlo, entenderás la intuición detrás del siguiente esquema de la prueba:
- La función continua en $[0,1]$ se puede aproximar uniformemente por $C^2$ funciones por el Teorema de Weierstrass.
- Así que para $f \in L^2[0,1]$ puedes encontrar $f_1 \in C([0,1])$ tal que $\|f - f_1\|_2 \le \epsilon/2$ . También puede encontrar $f_2$ tal que $\|f_2 - f_1\|_2 \le \|f_2 - f_2\|_\infty \le \epsilon/2$ . Por lo tanto, $\|f - f_2\|_2 \le \epsilon$ y se puede aproximar arbitrariamente con $C^2$ funciones.
- Si $f$ es continua, entonces está acotada, y para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $$ \left| \int_0^1 \! f^2 \, dx - \int_{\delta}^{1-\delta} \! f^2 \, dx \right|$$ $$\le \int_0^\delta \! f^2 \, dx + \int_{1-\delta}^1 \! f^2 \, dx \le 2\delta\|f\|_\infty^2 \le \epsilon $$
- Ahora toma $f_2$ del segundo punto, y modificarlo en $[0,\delta] \cup [1-\delta, 1]$ para que $f_2$ Permanezca en $C^2$ y $f(0) = f(1) = 0$ .
- Combina esto con el tercer punto y ya está.
