Hay una buena manera de conseguir todo lo que te pregunte si usted tiene una factorización
del polinomio característico. Utiliza sólo el de Cayley-Hamilton teorema de
que si el polinomio característico de a $A$ es el polinomio
$\operatorname{Char}_{A}\left( X\right) $ , $\operatorname{Char}%
_{A}\left (\right) =0$. También se ha construido en los controles de su trabajo. (Ayuda
por supuesto para tener un CAS hacer la media aritmética.) Una extensión de este a mayor
las dimensiones pueden utilizarse para demostrar la naturaleza de la Forma Canónica de Jordan. Uno
menor comentario: yo escribo mi FCC con el $1$'s por debajo de la diagonal.
Aquí tienes
$$
A =%
\left[\begin{matrix}
6 & 9 & 15\\
-5 & -10 & -21\\
2 & 5 & 11
\end{de la matriz}\right]
{\mathrm{\ y\ }}
\operatorname{Char}_{A}\left( X\right) =X^{3}-7X^{2}+16X-12=\left(
X-3\right) \left( X-2\right) ^{2} $$
$$\operatorname{Char}_{A}\left (\right) =(a-3\mathbf{I})\cdot\left(
A-2\mathbf{I}\right) ^{2}=
\left[\begin{matrix}
3 & 9 & 15\\
-5 & -13 & -21\\
2 & 5 & 8
\end{de la matriz}\right]
\cdot%
\left[\begin{matrix}
4 & 9 & 15\\
-5 & -12 & -21\\
2 & 5 & 9
\end{de la matriz}\right]
^{2} $$
$$=
\left[\begin{matrix}
3 & 9 & 15\\
-5 & -13 & -21\\
2 & 5 & 8
\end{de la matriz}\right]
\left[\begin{matrix}
1 & 3 & 6\\
-2 & -6 & -12\\
1 & 3 & 6
\end{de la matriz}\right]
=
\left[\begin{matrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{de la matriz}\right] $$
Ahora la columna espacio de $\left( A-2\mathbf{I}\right) ^{2}$ es el núcleo de
$(A-3\mathbf{I})$, por lo que un vector propio de valor propio $3$ $%
\left[\begin{matrix}
1\\
-2\\
1
\end{de la matriz}\right]
$ and this spans the generalized eigenspace for eigenvalue $3$. Del mismo modo el
generalizada espacio propio para el autovalor $2$ es la columna espacio de
$(A-3\mathbf{I})=
\left[\begin{matrix}
3 & 9 & 15\\
-5 & -13 & -21\\
2 & 5 & 8
\end{de la matriz}\right]
$. Ahora mira en
\begin{align*}
\left( A-2\mathbf{I}\right) (A-3\mathbf{I}) & =
\left[\begin{matrix}
4 & 9 & 15\\
-5 & -12 & -21\\
2 & 5 & 9
\end{de la matriz}\right]
\cdot%
\left[\begin{matrix}
3 & 9 & 15\\
-5 & -13 & -21\\
2 & 5 & 8
\end{de la matriz}\right]
=
\left[\begin{matrix}
-3 & -6 & -9\\
3 & 6 & 9\\
-1 & -2 & -3
\end{de la matriz}\right]
\neq%
\left[\begin{matrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{de la matriz}\right]
\\
\left( A-2\mathbf{I}\right) \left( A-2\mathbf{I}\right) (a-3\mathbf{I}) &
=\left[\begin{matrix}
4 & 9 & 15\\
-5 & -12 & -21\\
2 & 5 & 9
\end{de la matriz}\right]
\cdot
\left[\begin{matrix}
-3 & -6 & -9\\
3 & 6 & 9\\
-1 & -2 & -3
\end{de la matriz}\right]
=
\left[\begin{matrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{de la matriz}\right]
\end{align*}
Esa es toda la aritmética que tenemos que hacer, con controles adicionales integrados. Para
la matriz de transición tomamos la columna 1 un vector propio de valor propio $3$,
la columna 3 es un vector propio de valor propio 2, digamos $
\left[\begin{matrix}
-3\\
3\\
-1
\end{de la matriz}\right]
\ $ which is the first column of $\left( A-2\mathbf{I}\right) (a-3\mathbf{I}
)$ and for column 2 the same (first) column of $(A-3\mathbf{I})$ que es
$
\left[\begin{matrix}
3\\
-5\\
2
\end{de la matriz}\right]
$ a conseguir
$$
P=
\left[\begin{matrix}
1 & 3 & -3\\
-2 & -5 & 3\\
1 & 2 & -1
\end{de la matriz}\right]
$$
Puedo comprobar esto por mi CAS: $P^{-1}AP=
\left[\begin{matrix}
3 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 2
\end{de la matriz}\right]
.$
Tenga en cuenta que usted consigue la multiplicidad algebraica del polinomio característico, la multiplicidad geométrica y de la FCC y de la matriz de transición para mi FCC sin resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si usted quiere que su $1$'s por encima de la diagonal, el trabajo con las filas en lugar de columnas, es decir, la transposición de todo.
