Equivalente gaussiano multivariante de una identidad de integración Gaussiana.

Question

Para un uno-dimensional x,

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

Esto puede ser demostrado a través de la integración por partes. Hay una buena derivación de los que aquí.

Me pregunto, ¿es la misma que existir para que un multivariante de Gauss $$\ p(x|\mu,\Sigma)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\textrm{T}}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$$

Donde $\Sigma$ (positivo-definida) es la variación y $\mu$ es la media. Aquí, estoy usando $N$ para la dimensión de $x$. Es decir, ¿

$$\int\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\left[-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\textrm{T}}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right]\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\textrm{T}}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)dx$$
$$=\frac{1}{2}\int\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\textrm{T}}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)dx$$

?

Mi primer pensamiento es que la identidad debe ser idéntica porque después de llevar a cabo en el interior de los productos de "arriba" en la exponencial y "abajo" en el coeficiente, se convierte en un escalar positivo.

Este cálculo está involucrado en la determinación del diferencial de la entropía de un multivariante de Gauss. Para mi respuesta: de acuerdo con la respuesta dada en el teorema 9.4.1 aquí, no debería ser un factor adicional de N en el lado derecho.

Answer 1

Podemos calcular directamente por un cambio lineal de variables, en sustitución de $\Sigma^{-1/2}(x-\mu)$$x$:

\begin{align*} &\int (2\pi)^{-\frac N2}|\Sigma|^{-\frac12}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\text{exp}\left(-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\ dx \\ &= \int (2\pi)^{-\frac N2}x^Tx\exp\left(-\frac12 x^Tx\right)\ dx \\ &= \int (2\pi)^{-\frac N2}(x_1^2+\cdots+x_N^2)\exp\left(-\frac12(x_1^2+\cdots+x_N^2)\right)\ dx \\ \end{align*}

La distribución, podemos expresar esto como una suma de $N$ integrales, cada uno de los cuales son iguales a

\begin{align*} &\int (2\pi)^{-\frac N2}x_1^2\exp\left(-\frac12(x_1^2+\cdots+x_N^2)\right)\ dx \\ &=\int\cdots\int (2\pi)^{-\frac N2}x_1^2\exp\left(-\frac12x_1^2\right)\cdots\left(-\frac12x_N^2\right)\ dx_1\cdots dx_N \\ &=\left(\int (2\pi)^{-\frac 12}x_1^2\exp\left(-\frac12x_1^2\right)\ dx_1\right) \left(\int (2\pi)^{-\frac 12}\exp\left(-\frac12x_2^2\right)\ dx_2\right) \cdots \left(\int (2\pi)^{-\frac 12}\exp\left(-\frac12x_N^2\right)\ dx_N\right)\\ &= (1)(1)\cdots(1) = 1 \end{align*}

Por lo tanto, $$\int (2\pi)^{-\frac N2}|\Sigma|^{-\frac12}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\text{exp}\left(-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\ dx = N$$ Así que sí, para ser correcto, un factor de $N$ debe ser insertado a la derecha (también, el signo negativo en el lado izquierdo de la primera ocurrencia de la $-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)$ debe ser eliminado).

Alternativa de la prueba: Vamos a $X \sim N(\mu,\Sigma)$ ser un multivariante aleatoria Gaussiana vector. A continuación, los componentes de $Z=\Sigma^{-1/2}(X-\mu)$ son de Gauss estándar, y

\begin{align*} &\int (2\pi)^{-\frac N2}|\Sigma|^{-\frac12}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\text{exp}\left(-\frac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\ dx \\ &= E\left((X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu)\right) \\ &= E\left((\Sigma^{-1/2}(x-\mu))^T(\Sigma^{-1/2}(x-\mu))\right) \\ &= E(Z^TZ) \\ &= E(Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_N^2) \\ &= E(Z_1^2)+E(Z_2^2)+\cdots + E(Z_N^2) \\ &= 1+1+\cdots+1 = N \end{align*}