¿Cómo evalúo el límite $ \lim_ {n \to\infty }n((1+1/n)^n-e)$ ?

Question

¿Podría alguien mostrarme cómo evaluar este límite?

$$ \lim_ {n \to\infty }n \left ( \left (1+ \frac1n\right )^n-e \right ) $$

¡Gracias!

Answer 1

Desde $\log(1+x)=x-x^2/2+O(x^3)$ obtenemos $$ \begin{align} n\log\left(1+\frac1n\right) &=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)\\ &=1-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, ya que $e^x=1+x+O\left(x^2\right)$ tenemos $$ \left(1+\frac1n\right)^n=e\left(1-\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right)\right) $$ A partir de aquí, es fácil ver que $$ n\left(\left(1+\frac1n\right)^n-e\right)=-\frac{e}{2}+O\left(\frac1n\right) $$ Así, $$ \lim_{n\to\infty}n\left(\left(1+\frac1n\right)^n-e\right)=-\frac{e}{2} $$

Answer 2

Veamos otra forma $$\lim_{n\to\infty}n\left(\left(1+\frac1n\right)^n-e\right)=$$ $$\lim_{n\to\infty}en\left(\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}-1\right)=$$ $$\lim_{n\to\infty}en\ln\left(\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}\right)\times \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\displaystyle\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}-1\right)}{\ln\left(\displaystyle\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}\right)}=$$ $$\lim_{n\to\infty}en\ln\left(\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}\right)= $$ $$\lim_{n\to\infty}e \left(n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-n\right)=-\frac{e}{2} $$ donde utilicé $\displaystyle \lim_{x\to1} \frac{x-1}{\ln x}=1$ y luego $$\lim_{x\to\infty} \left(x^2\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-x\right)= $$ $$\lim_{y\to0} \left(\frac{1}{y^2}\ln\left(1+y\right)-\frac{1}{y}\right)= $$ $$\lim_{y\to0} \left(\frac{\ln(1+y)-y}{y^2}\right)= $$ que por la regla de l'Hôpital se convierte en $$ \lim_{y\to0} -\frac{1}{2(y+1)}=-\frac{1}{2}$$

Chris.

Answer 3

También se puede hacer con L'Hopital, pero la derivación es un poco larga:

$$A = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(1+1/n\right)^n - e}{1/n}$$

Teniendo $0/0$ podemos intentar usar L'Hopital.

Porque

$$ \frac{d}{dn} \left(1+1/n\right)^n = \frac{d}{dn} \exp\left(n \ln\left(1+1/n\right)\right) = \left(1+1/n\right)^n \left(\ln\left(1+1/n\right) + \frac{n\left(-1/n^2\right)}{1+1/n}\right) $$

tenemos

$$A = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(1+1/n\right)^n \left(\ln\left(1+1/n\right) - \frac{1}{n+1}\right)}{-1/n^2} = e \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(\ln\left(1+1/n\right) - \frac{1}{n+1}\right)}{-1/n^2}$$

Que es $0/0$ de nuevo (Porque $\ln(1+\epsilon)\approx \epsilon$ para $\epsilon\ll 1$ ) , utilizando una vez más L'Hopital,

$$A = e \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(\frac{-1/n^2}{1+1/n} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)}{2/n^3} = e \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{-n^2}{2(n+1)^2} = -\frac{e}{2} $$