¿Por qué el cambio de las variables de trabajo?

Question

Tengo un poco de vergüenza hacer esto, pero recientemente he sido reflexionar sobre el cambio de variables muy sencillas problemas. Si me he perdido una pregunta que ya se explica esto por favor, es para mí y voy a borrar este. De todos modos escribir esto probablemente será una experiencia de aprendizaje.

Directamente desde la página de la Wikipedia sobre el argumento me tome como ejemplo la ecuación:

$$x^6 - 9 x^3 + 8 = 0. \, $$

Rápidamente me reconoce esto como un gran problema de la escuela y el uso de los métodos que me habían enseñado, es decir, me puse a$x^3 = u$$x = u^{1/3}$.

Luego se procede a resolver la ecuación cuadrática que los resultados de esta sustitución, y sólo al final se me aplica la transformación inversa $x^3 = u$ para obtener una respuesta para mi a partir de la variable. Con no mucha imaginación siempre he pensado que la función se utiliza cuando el cambio de variables (en el caso anterior $f(x) = x^3)$ debe ser bijective en el dominio de interés de la partida de la ecuación. Esto es porque necesito la inversa para volver a mi "a partir de la variable".

Pero veo que en la Wikipedia en la que un poco más es necesario, el cambio de función de variable debe ser una diffeomorphism, necesitamos la diferenciabilidad (y suavizar los colectores para el dominio y la imagen).

Aquí es donde me di cuenta de que nunca se me enseñó una prueba de por qué el cambio de variables método de trabajo o cómo funciona, pero yo estaba más que la aplicación de estas sustituciones ciegamente.

Así que es posible que alguien amablemente me apunte a una fuente donde puedo mejorar mi entendimiento en este método muy eficaz mediante la adición de rigor a lo que yo estoy haciendo y posiblemente incluso una interpretación geométrica.

Answer 1

Buena pregunta, buena respuesta.

Como @EricS puntos, usted no tiene que sustituir en este caso en particular - puede hacer todo el trabajo con la variable original. Pero se puede sustituir. La ventaja es que al cambiar el nombre de la variable en una forma sistemática hace que la forma del problema y la solución un poco más claro.

Ya que todo lo que estamos haciendo aquí es encontrar soluciones aisladas, todo lo que necesita es bijectivity para asegurarse de que su traducción de un nombre a otro del espacio y de la espalda es fiel.

Si quieres hacer más de álgebra usted puede necesitar un mejor diccionario, es decir, la sustitución de un producto con mejores propiedades. Si como @mweiss comentarios que desee hacer el cálculo de la transformada de la ecuación, a continuación, la sustitución y su inversa debe ser diferenciable. Eso es esencialmente lo que la página de la wikipedia, es decir, en una forma más abstracta contexto.

Al estudiar álgebra abstracta usted querrá que su "sustituciones" para respetar las propiedades algebraicas de el dominio y el rango. Esa es la esencia de @asymplectomorphic 's comentario acerca de álgebra lineal.

Answer 2

Debo admitir que nunca le dio tal pensado mucho en este método como lo hizo, y que no entiendo la introducción formal en la página de la Wikipedia (supongo que se refiere a este). Pero tal vez este puede proporcionar con más de alguna idea de por qué funciona el método.

Volver a considerar la ecuación de $x^6-9x^3+8=0$. $$ x^6-9x^3+8=\left(x^3\right)^2-9\left(x^3\right)+8=0 $$ $$\iff$$ $$ \left(\left(x^3\right)-8\right)\left(\left(x^3\right)-1\right)=0 $$ $$\iff$$ $$ x^3=8\ \lor\ x^3=1 $$ $$\iff$$ $$ x=\sqrt[3]{8}=2\ \lor\ x=1 $$ Ahora, ambos sabemos que esto es sólo la sustitución sin necesidad de escribir de manera explícita, pero la razón por la que funciona es simplemente porque no nos vuelva a escribir la ecuación en una forma atractiva y resolver una ecuación cuadrática. Así que yo diría que la razón por la sustitución de las obras depende de qué tipo de ecuación que se está resolviendo y la técnica que utilice para resolver este tipo de ecuaciones. En el caso anterior, la sustitución trabajado, porque no están cambiando la ecuación original en absoluto, simplemente escribirlo, y debido a que la fórmula cuadrática obras para la solución de ecuaciones cuadráticas.

Una especie de no-respuesta matemática. De nuevo, espero te sirva de ayuda. Si no, por favor, perdóname :)

Answer 3

Por las reglas del álgebra,

$$x^6 - 9 x^3 + 8 = 0$$

es estrictamente equivalente a

$$(x^3)^2 - 9 x^3 + 8 = 0.$$

Entonces no hace daño a sustituir a $u=x^3$ y resolver

$$u^2-9u+8,$$

conduce a un conjunto de soluciones de $u\in S=\{s_k\}$. Y esto es equivalente a $x^3\in S$ o $x\in\{\sqrt[3]s_k\}$.

Lo que importa para la sustitución sea válido es que el dominio de $u$ incluye el rango de $x^3$, de modo que ninguna solución es perdido (algunos $x^3$ verificación de la ecuación, pero no cubiertos por $u$); por otro lado, ningún extranjero solución se introduce cuando la inversión de $u=x^3$, mientras que el dominio de $x$ tiene prioridad.

No creo que a cualquier otra condición, tales como la continuidad o la diferenciabilidad, deben ser impuestas a la sustitución.

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Por el bien de la ilustración, consideremos la sustitución de $u=x^3-\text{sign}(x)$, que no es ni continua ni invertible. Tenemos una rama con $x<0,u<1$, y otro con $x>0,u>-1$.

La ecuación se divide para las dos ramas

$$u<1\de la tierra(u-1)^2-9(u-1)+8=u^2-11u+18=0,\\ u>-1\de la tierra(u-1)^2-9(u+1)+8=u^2-7=0.$$

Estos dan la solución de los conjuntos de $u\in\{\}$ (no $u$ es admisible) y $u\in\{0,7\}$. Luego de la segunda rama, $x^3\in\{1,8\}$, lo cual es correcto.

Answer 4

Esta respuesta va a dar una idea de por qué el cambio de las variables de las obras, está permitido cuando la integración.

Voy a dar una idea (heurística) sobre el por qué de estos requisitos para $u$ son necesarios. La idea básica detrás de substition de variables es que elijas una base diferente sobre lo que usted sabe la solución.

Básicamente, usted desea solucionar $\int_a^b f(x) dx$.

Si usted piensa acerca de una de dos dimensiones Euclidianas $(x,y)$-grid (en realidad: manifold), entonces se puede pensar de $dx$ como un vector (en realidad: covector) que define la dirección-el paso en la $x$-dirección.

En la expresión integral, $x$ es sólo un muñeco, así que usted puede elegir como algo que te gustaría ser, pero entonces usted necesita cambiar en cualquier lugar.

Usted ha elegido $u = x^{\frac{1}{3}}$. Esta función es "suficientemente buena" en el sentido de que se puede invertir, diferenciar infinitamente muchas veces y que es continuada a lo largo de $\mathbb{R}$ y todo lo demás.

Usted puede reemplazar a $dx$$[\text{Something}]du$. Usted sabe $x = u^3$, lo $x'(u) = \frac{dx}{du} = 3 u^2$. Multiplicar ambos lados por el diferencial de $u$ encontrar $dx = 3 u^2 du$.

Ahora usted puede transformar todo, desde la base en $x$ a una base en la $u$, lo $$\int_a^b f(x) dx = \int_{a^{1/3}}^{b^{1/3}} f(u) (3 u^2 du)$$

¿Por qué necesita la diferenciabilidad? Por ejemplo, considere el $u = \frac{1}{x}$ y supongamos que el punto de $x=0$ está dentro del intervalo de $\langle a,b\rangle$. ¿Cuál es el valor de $u$ cuando consideramos $x = 0$?

De la misma manera diffeomorphism. Supongamos que la base de la transformación no es inyectiva. Por ejemplo, considere el $u = x$ si $x<0$ $u = x+2$ si $x\geq 0$. No hay ningún valor de $x$ que se asigna a $u=1$. Ahora tratan de integrar a más de $x$ de -1 a 1. A continuación,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^{3} f(?) du$. ¿Cuál sería el valor de la última integral?