¿Cómo puedo conseguir $\|x\|\le C\|y\|$ en este caso?

Question

Creo que el título es poco informativo, por favor, siéntase libre de editarlo.

Se trata de un problema relacionado con el Teorema del Mapa Abierto. Sea $T:X\to Y$ sea un operador lineal acotado de un espacio de Banach X a un espacio de Banach Y. Supongamos que existe una constante $C>0$ tal que para cualquier $y\in D\subset Y$ , $D$ es denso en $Y$ se cumplen estas condiciones

1. $\exists x\in X$ tal que $Tx=y$ .
2. $\|x\|\le C\|y\|$ .

Intento demostrar que el resultado es válido para cualquier $y\in Y$ el cierre de $D$ .

Dejemos que $y\in Y$ sea un elemento arbitrario, entonces podemos escribir $y$ como $$ y=\sum_{n=1}^{\infty}y_n $$ donde $y_n\in D$ para cada $n\in \Bbb N$ . Podemos elegir $(y_n)$ para que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\|y_n\|<\infty $$ desde $Y$ es Banach. Para cada $n$ dejamos que $x_n\in X$ sea un elemento tal que $Tx_n=y_n$ y $\|x_n\|\le C\|y_n\|$ . Entonces $$ \sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|\le \sum_{n=1}^{\infty}C\|y_n\|<\infty $$ por nuestra suposición, así $x=\sum_{n=1}^{\infty}x_n\in X$ desde $X$ es Banach.

No es difícil ver que $$ Tx=T(\sum_{n=1}^{\infty}x_n)=\sum_{n=1}^{\infty}y_n=y $$ pero aquí es donde me quedé atascado. No puedo mostrar que $\|x\|\le C\|y\|$ . ¿Puede alguien sugerirme una idea sobre cómo proceder? Una prueba alternativa también estaría bien si se puede explicar cómo mi método está condenado al fracaso.

Answer 1

Solución 2 (sin asumir $D$ para ser lineal)

Esta es la continuación de tu solución: llegaste al punto en que $\forall y\in Y\,\exists x\in X: Tx=y$ y por lo tanto $T$ es una cartografía abierta. Esto significa que $T$ mapea la bola unitaria abierta $B_X(0,1)\subset X$ en un conjunto abierto en $Y$ que contiene $0_Y\Rightarrow\exists r>0:\,\overline{B_Y(0,r)}\subset T(B_X(0,1))$ . A partir de aquí vemos que $\forall y\in Y:\|y\|\leq r\,\exists x\in X: \|x\|\leq 1$ y $ Tx=y$ . Ahora para la arbitrariedad $y\in Y$ tomar el elemento $\frac{r}{\|y\|}y$ que tiene norma $r\Rightarrow \exists x\in B_X(0,1): Tx=\frac{r}{\|y\|}y\Leftrightarrow T(\frac{\|y\|}{r}x)=y$ . Establecer $u:=\frac{\|y\|}{r}x\Rightarrow \|u\|=\|\frac{\|y\|}{r}x\|\leq \frac{1}{r}\|y\|$ y así la constante es $C=\frac{1}{r}$ .

Answer 2

Solución 3 (más corto y continuación de su solución)

Para cada $y\in Y$ se puede construir la serie $y=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{y_n}$ tal que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\|y_n\|}\leq 2\|y\|$ (sólo hay que elegir el $\epsilon_n$ de su comentario como $\epsilon_n=\frac{\|y\|}{2^{n+1}}$ ).

$$\|x\|=\lim\limits_{N\to\infty}{\|\sum\limits_{n=1}^{N}{x_n}\|}\leq\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{N}{\|x_n\|}\leq \lim\limits_{N\to\infty}{C\sum\limits_{n=1}^{N}{\|y_n\|}}\leq 2C\|y\|$$ y así la constante para el conjunto $Y$ es $2C$ .

Answer 3

Suponemos que $D$ para ser un subespacio.

Si $T$ es inyectiva entonces dejemos que $y_n\to y\in Y$ con $\{y_n\}\subset D$ . Entonces $\exists \{x_n\}\subset X: Tx_n=y_n$ y $\|x_n\|\leq C\|y_n\|\Rightarrow \|x_n-x_m\|\leq C\|y_n-y_m\|\,(\text{because $ T $ is injective})\,\Rightarrow$ la secuencia $\{x_n\}$ es Cauchy en $X$ y por lo tanto $\exists x\in X: x_n\to x$ . Pero entonces $Tx_n\to Tx$ y también tenemos $y_n\to y\Rightarrow Tx=y$ . También $\|y_n\|\ge \frac{\|x_n\|}{C},\,\forall n\in\mathbb N\Rightarrow \|y\|\ge \frac{\|x\|}{C}$ .

Si $T$ no es inyectiva entonces se puede considerar el operador $\overline T: X/\text{Ker } T\to Y$ que tiene exactamente la misma imagen en $Y$ como $T$ . En más detalles, se factoriza $X$ con respecto al núcleo de $T$ y dar una norma al espacio $X/\text{Ker } T$ de la siguiente manera: $\|[x]\|=\|x+Ker T\|=\inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}$ . Con esta norma, el espacio $X/ Ker T$ también es Banach (porque Ker $T$ está cerrado ) y además tienes que $$\forall y\in D\,\exists x\in X: Tx=y\Leftrightarrow \overline T([x])=y$$ y $$\|[x]\|=\inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}\leq \|x-0\|=\|x\|\leq C\|y\|$$

Todavía no puedo terminar la prueba ( con la misma constante $C$ ), porque sólo obtenemos $\forall y\in Y\,\exists x\in X: \|[x]\|\leq C\|y\|$ y $Tx=y$ (para demostrarlo, aplique los argumentos anteriores pero para $\overline T$ ). Pero de esto no puedo concluir que $\|x\|\leq C\|y\|$ . Sin embargo, si asumimos que $X$ es reflexivo, entonces $\|[x]\|=\inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}$ alcanza su mínimo en algún punto $z_0\in Ker T$ porque la norma es convexa, débilmente semicontinua inferior y $Ker T$ es débilmente cerrado. Entonces obtenemos $\forall y\in Y,\,\exists x\in X, z_0\in Ker T:\,T(x-z_0)=Tx=y$ y $\|x-z_0\|=\|[x]\|\leq C\|y\|$ por lo que la propiedad que se desea es probada ( con la misma constante $C$ para $D$ y $Y$ ).

EDITAR Porque no se dice que la constante debe ser la misma para todo el espacio $Y$ (ver mi comentario bajo la pregunta), entonces a partir de lo demostrado anteriormente para el operador $\overline T$ (sin asumir la reflexividad de $X$ ) tenemos que $\forall y\in Y\,\exists x\in X:\,\inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}=\|[x]\|\leq C\|y\|$ y $\overline T([x])=y\Leftrightarrow Tx=y$ . Ahora sólo hay que aumentar la constante $C$ por $1$ para conseguir que para cada $y$ la cantidad $(C+1)\|y\|$ es estrictamente mayor que $\|[x]\|=\inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}\Rightarrow \exists z_0\in Ker T:\, \inf\limits_{z\in Ker T}{\|x-z\|}\leq\|x-z_0\|\leq (C+1)\|y\|$ . Así que la solución para $y$ se convierte en $x-z_0$ porque $T(x-z_0)=y$ y $\|x-z_0\|\leq (C+1)\|y\|$

Nota que también probamos que $T$ es suryente, y por lo tanto es un mapa abierto por el teorema de los mapas abiertos.

Finalmente concluimos que:

1)Si el espacio $X$ es además reflexivo, la constante $C$ se mantiene igual para todo el espacio $Y$ .

2)Si no asumimos que $X$ es reflexivo, la prueba para un operador general (no necesariamente inyectivo) $T$ se hace considerando el operador $\overline T: X/Ker T\to Y$