$X=\{a,b,c\}$ $\mathcal{T}=\{X, \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ . Determinar si $f:X \rightarrow X$ $\mathcal{T}-\mathcal{T}$ Continua

Question

$X=\{a,b,c\}$ $\mathcal{T}=\{X, \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ .

Suponga $f: X \rightarrow X$ está dado por $f(a)=a, f(b)=c,$ $f(c)=b.$

Determinar si $f:X \to X$ $\mathcal{T}-\mathcal{T}$ continua

Lo que tengo:

Para $f$ a ser continua, entonces para cada a $\mathcal{T}$-abrir subconjunto $V$ de $X,$ $f^{-1}(V)$ es una $\mathcal{T}$-abrir subconjunto de $X$.

Desde $f:(X,\mathcal{T}) \to (X,\mathcal{T})$, $\{b\}$ es un conjunto abierto, sino $f^{-1}(\{b\})=\{c\}$ que no está abierto desde $\{c\}$ $\notin \mathcal{T}$

Por lo tanto $f$ no es continua.

Hace que el sonido correcto?

Answer 1

Sí, la prueba de que funciona.

Alternativamente, se podría argumentar que $c\in\overline{\{b\}}$ pero $f(c)=b\notin\overline{f[\{b\}]}=\overline{\{c\}}$.

Tenga en cuenta que $f\circ f=1_X$, lo $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}=f$ está abierto.