Cómo encontrar la relación de recurrencia de una solución dada.

Question

Determinar los valores de las constantes $A$ y $B$ tal que $a_n=An+B$ es una solución de la relación de recurrencia $a_n=2a_{n-1}+n+5$ .

Sé que la ecuación característica es $r-2 = 0$ que tiene la raíz $r = 2$ . Normalmente encuentro constantes $A$ y $B$ por $a_n=Ar^n+Br^n$ . En parece que no puedo aplicar esto aquí porque $a_n=An+B$ se da. La solución es $A = -1$ y $B = -7$ . No sé cómo obtener esta respuesta. Puede alguien ayudarme por favor.

Answer 1

Consideremos la relación de recurrencia homogénea $a_n=2a_{n-1}$ où $n\geq1$ . La ecuación característica es $x-2=0$ , donde $x=2$ es la raíz de la raíz característica. Por lo tanto, la solución general es $a_n=a2^n$ où $a$ es una constante. Sea $a_n=bn+c$ où $b$ y $c$ son constantes. Lo hacemos porque $b_n=n+5$ , por lo que una ecuación lineal es una suposición adecuada. Sustituyendo esto en nuestra relación de recurrencia original vemos que $bn+c=2(b(n-1)+c)+(n-1)+5$ implica que $bn+c=(2b+1)n+(-2b+2c+5)$ . Igualando los coeficientes de estos polinomios vemos que $b=-1$ y $c=-7$ . Así, la solución particular es $a_n=-n-7$ . Combinando la solución general y la solución particular tenemos $a_n=a2^n-n-7$ .

Answer 2

Usted tiene $\forall n ~:~ a_n = 2~a_{n-1} + n + 5$ y $\forall n ~:~ a_n = A~n+B$ . Así que construye las ecuaciones

$$\begin{array} {c|cc} n & a_n = 2~a_{n-1} + n + 5 & a_n = A~n+B \\ \hline 1 & a_1 = 2~a_{0} + 6 & a_1 = A+B \\ 2 & a_2 = 2~a_{1} + 7 & a_2 = 2~A+B \\ 3 & a_3 = 2~a_{2} + 8 & a_3 = 3~A+B \\ \end{array}$$

Sistema simple de 6 ecuaciones lineales, 6 variables. Resolver para $A$ y $B$ .

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O puedes ser un poco más indirecto: Enchufar $\forall n ~:~ a_n = A~n+B$ en $\forall n ~:~ a_n = 2~a_{n-1} + n + 5$

$$\forall n ~:~ A~n + B = 2~A~(n-1) + 2~B + n + 5$$

Enchufe $n=0$ para conseguir

$$B = 2~B - 2A + 5$$

Enchufe $n=1$ para conseguir

$$A+B = 2B + 1 + 5$$

Así que 2 ecuaciones, 2 variables.