Demostrar la desigualdad de $\ 1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}\le 2-\frac1n$ el uso de la inducción

Question

Pregunta:

Demostrar que $$\ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}\le 2-\frac{1}{n}, \text{ para todo natural } n$$

Mi intento:

Caso Base: $n=1$ es cierto:

I. H: Supongamos $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{k},$ naturales $k.$

Ahora podemos demostrar cierto para $n = k+1$

$$ 1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}\le 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2},\text{ by induction hypothesis} $$

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $2-\frac{1}{k}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}\le 2-\frac{1}{\left(k+1\right)}\text{ ?}$

He hecho todo correctamente hasta aquí?

Si sí, ¿cómo puedo mostrar esta desigualdad es verdadera?

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tiene usted razón!

Tenemos que demostrar que: $$\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$ o $$\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{1}{k(k+1)},$$ lo que es obvio.

Answer 2

Usted puede utilizar creative telescópica para probar la existencia de una mucho más estrecha de la desigualdad.
Si establecemos $H_n^{(2)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$, para cualquier $n\geq 3$ tenemos: $$\begin{eqnarray*} H_n^{(2)} &=& \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2(k+1)}\\&=&\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k+1)^2 (k+2)}\\&=&\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)^2(k+2)}\\&=&\frac{5}{3}-\frac{2n+1}{2n(n+1)}-\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{(k+1)(k+2)^2(k+3)}\\ &\color{red}{\leq}&\color{red}{\frac{5}{3}-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$$ y el de la desigualdad de la $n\in\{1,2\}$ se puede comprobar fácilmente con la mano.
Es interesante señalar que este enfoque conduce a una breve prueba de Stirling de la desigualdad.

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Como una alternativa, la convexidad de $\frac{1}{x^2}$ $\mathbb{R}^+$ conduce, por el Hermite-Hadamard la desigualdad, a:

$$ H_{n}^{(2)}=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{m\geq n+1}\frac{1}{m^2}\color{red}{\leq} \frac{\pi^2}{6}-\int_{n+1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{n+1} $$ $$ H_{n}^{(2)}\color{blue}{\geq} \frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}. $$