Versión consolidada del teorema de Casorati-Weierstrass

Question

Supongamos que el $f$ tiene una singularidad esencial en a $z=a$.Probar que si $c\in \mathbb{C}$,e $\varepsilon >0$ se dan,entonces para cada a $\delta >0$ no es un número $b$,$|c-b|<\varepsilon$,tal el $f(z)=b$ tiene una infinidad de soluciones en $B(a;\delta)$. Este es un ejercicio de "funciones de una variable compleja'.

Me ha resuelto esta cuestión mediante la asignación abierta y teorema de Categoría de Baire Teorema de argumentar que el $\bigcap_{i=1}^{\infty}f(\{z:0<|z-a|<1/n\})$ es un denso conjunto.

Existe una solución que no hace uso de la Categoría de Baire Teorema? Gracias.

Answer 1

Aquí es un argumento que evita Baire, al menos explícitamente, aunque se siente muy similar a la de Baire.

Fix$\epsilon, \delta>0$$c \in \mathbb C$. Considerar la secuencia de conjuntos de $W_n=f(\{z \in \mathbb C | 0<|z-a|<\frac 1 {n+N}\}$ $n \in \mathbb Z^+$ donde $N$ es tal que $\frac 1 {n+N} >\delta$ todos los $n$. Por el original de Casorati-Weierstrass cada una de las $W_n$ es denso en $\mathbb C$, y en el abierto de asignación teorema de cada uno está abierto. A continuación, $W_1 \cap B_\epsilon (c)$ es no vacío y abierto por lo que contiene un punto de $x_1$ y el cerrado de la bola de $\overline B_{r_1}(x_1)$ tal que $r_1 \in (0,\frac 1 2)$. Construir a través de la inducción de una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb Z^+}$ $(r_n)_{n \in \mathbb Z^+}$ tal que $r_n \in (0, 2^{-n})$$\overline B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) \subset W_n \cap B_{r_n}(x_n)$. A continuación, $(x_n)_{n \in \mathbb Z^+}$ es de Cauchy y debe converger a algunos $x$. Tenemos que $x \in B_\epsilon(c) \cap \bigcap_{n \in \mathbb Z^+}W_n$, por lo que es dentro de $\epsilon$ $c$ y tiene una infinidad de pre-imágenes dentro de$\delta$$a$, como se desee.