Consideremos una secuencia decreciente $(x_n)$ en $\Bbb{R}_0$ . Hay una cantidad infinita de $n \in \Bbb{N}_0$ para lo cual $1/n < x_n$ . Prueba la serie $\sum x_n$ diverge.
Por un lado, consideré probar la secuencia $(x_n)$ no converge a $0$ . Sin embargo, a menos que me equivoque, esto no es necesariamente cierto. Mi siguiente intento fue demostrar que la serie no es Cauchy. En otras palabras:
Encuentre un $\epsilon > 0$ tal que para cada $n_0 \in \Bbb{N}_0$ un $m,n > n_0$ existe para el que $\epsilon \le |\sum_{m}^{n} x_k|$ .
Me imaginé que trataría de elegir uno de esos $x_n > 1/n$ y un cierto $N$ cantidad de elementos precedentes para llegar a la conclusión de que $\epsilon \le \frac{N}{n} \le |\sum_{m}^{n} x_k|$ . Sin embargo, en este punto, estoy completamente perdido sobre cómo probar estos números $N$ y $n$ existe. ¿Voy en la dirección correcta? Y si es así, ¿cómo puedo terminar la prueba? Gracias de antemano.
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Ok, así que entiendo que estás haciendo uso del hecho de que es una secuencia decreciente aquí. Entonces, si he seguido correctamente tendrías que encontrar un $m/n \le 1 - \epsilon$ . Ahora para argumentar que estos existen, se toma $\epsilon < 1$ , sólo tienes que tomar cualquier $m \ge n_0$ y entonces se concluye que el $n$ debe existir debido a la propiedad arquimédica de los números reales. ¿Es todo esto correcto?