Notación Bra-Ket Hermiticity de Quantum por favor

Question

Si $A$ $B$ son Hermitian operadores, muestran que $$C~:=~i[A,B]$$ es Hermitian demasiado.

Mi trabajo: $$\begin{gather} C=i(AB-BA) \\ \langle\psi\rvert C\lvert\phi\rangle = i\langle\psi\rvert AB\lvert\phi\rangle-i\langle\psi\rvert BA\lvert\phi\rangle \end{reunir}$$ $A$ $B$ son Hermitian tal que: $$\begin{align} \langle\psi\rvert A\lvert\phi\rangle &= \langle\phi\rvert A\lvert\psi\rangle^* \\ \langle\psi\rvert B\lvert\phi\rangle &= \langle\phi\rvert B\lvert\psi\rangle^* \end{align}$$ Sé un poco acerca de la identy operador, que la he visto usar para hacer una táctica similar, pero no estoy claro sobre su significado exacto hmm... $$1=\sum_n\lvert n\rangle\langle n\rvert$$ La definición de Hermiticity aprendí de conferencias es el que he dicho anteriormente, se puede demostrar que en esta forma de C? es decir, se pueden utilizar bra-ket de notación.

Answer 1

El bra-ket de notación es muy formal, pero bueno, vamos a ir a través de él.

Debemos demostrar que $\langle \psi | C | \phi \rangle = \langle \phi | C | \psi \rangle ^*$, donde el $^*$ es compleja conjugación.

Primero vamos a comprobar que el medico adjunto del compuesto operador $AB$$BA$, es decir, que $\langle \psi | AB | \phi \rangle = \langle \phi | BA | \psi \rangle^*$.

Por eso, el aviso de que $\langle \psi | AB | \phi \rangle = \langle \psi | A \, 1 \, B | \phi \rangle = \sum_n \langle \psi | A | n \rangle\langle n | B | \phi \rangle = \sum_n \langle n | A | \psi \rangle^* \langle \phi | B | n \rangle^* = (\sum_n \langle \phi | B | n \rangle \langle n | A | \psi \rangle ) ^* = (\langle \phi | B \, 1 \, | \psi \rangle ) ^* = \langle \phi | BA | \psi \rangle^*$.

Por la linealidad del producto interior, tiene $\langle \psi | (iAB) | \phi \rangle = i(\langle \psi | AB | \phi \rangle) = (-i)^* (\langle \phi | BA | \psi \rangle)^* = (\langle \phi | (-iBA) | \psi \rangle)^*$.

Conmutación $AB$ $BA$le ofrece:

1. $\langle \psi | (iAB) | \phi \rangle = (\langle \phi | (-iBA) | \psi \rangle)^*$.
2. $\langle \psi | (iBA) | \phi \rangle = (\langle \phi | (-iAB) | \psi \rangle)^*$.

Ahora uno tiene

$\langle \psi | C | \phi \rangle = \langle \psi | (iAB) | \phi \rangle - \langle \psi | (iBA) | \phi \rangle = (\langle \phi | (-iAB) | \psi \rangle)^* - (\langle \phi | (-iBA) | \psi \rangle)^* = (\langle \phi | C | \psi \rangle)^*$.

Que concluye la prueba.

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Si usted quiere saber lo que está pasando, te recomiendo que busque la definición de el adjunto de un operador. Los matemáticos usan la estrella de $A^*$, y los físicos utilizan la daga $A^\dagger$. Si usted sabe que $A\mapsto A^\dagger$ es antilinear y satisface la regla de $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$, luego de que su ejercicio puede ser resuelto mediante la comprobación de $C^\dagger = (iAB - iBA)^\dagger = -i BA + i AB = C$.