Cómo mostrar$\bigcap_{m \textrm{: maximal ideal}} A_m=A$?

Question

$A$ es un dominio integral. Cada máxima ideal $m$ $A$, considerar $A_m$ como un subanillo del cociente campo $K$ $A$. Mostrar $\bigcap A_m=A$, donde se toma la intersección sobre todos los ideales máximos $m$ $A$.

Este es un problema de tarea. Pensé que me di cuenta pero pronto me di cuenta de que mi argumento sólo funciona en el caso que hay finito muchos ideales máximas, que es mucho más débil.

Answer 1

Sugerencia: Que $\frac{a}{b} \in \bigcap_m A_m$. Considerar el % ideal de $I = \{r \in A: r\frac{a}{b} \in A\}$. ¿Qué puede decir acerca de $I$? Necesitará usar el hecho de que cualquier ideal apropiado está siempre contenido en un ideal maximal.

Answer 2

Desde $1\in S$, claramente tenemos $$A\subseteq \bigcap_{\mathbf{m}\in\mathcal{M}}A_\mathbf{m}.$$ Por otro lado, vamos a $a\in\bigcap_{\mathbf{m}\in\mathcal{M}}A_\mathbf{m}$ y definen $I$ a ser el ideal tal que $a\frac{x}{1}=\frac{x'}{1}$ donde $x$ $x'$ son elementos de $A$. Por lo tanto, $I$ se compone de aquellos elementos que son denominadores de $a$. Pretendemos que $I=A$. Supongamos que no, entonces $I$ es un buen ideal, por lo que está contenido en un ideal maximal, decir $\mathbf{m}^*$. Entonces, desde el $a\in\bigcap_{\mathbf{m}\in\mathcal{M}}A_\mathbf{m}$, sabemos $a\in A_{\mathbf{m}^*}$. Esto implica $a$ puede ser escrita en la forma$\frac{p}{q}$$q\notin \mathbf{m}^*$, pero claramente $\frac{p}{q}\cdot\frac{q}{1}=\frac{p}{1}$, por lo tanto $q\in I$. Esto es una contradicción con el hecho de que $I$ está contenida en la máxima ideal, por lo tanto $I$ no debe ser adecuada, es decir, $I=A$.