Singapur olimpíadas de matemáticas Trigonometría pregunta: Si $\sqrt{9-8\sin 50^\circ} = a+b\csc 50^\circ$,$ab=$?

Question

$$\text{If}\; \sqrt{9-8\sin 50^\circ} = a+b\csc 50^\circ\text{, then}\; ab=\text{?}$$

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribir la pregunta anterior como $$\sin 50^\circ\sqrt{9-8\sin 50^\circ} = a\sin 50^\circ+b$$

Ahora para el lado Izquierdo, $$\sin 50^\circ\sqrt{9-8\sin 50^\circ} = \sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin^350^{\circ}}$$

Ahora, ¿Cómo puedo solucionar esto después de eso , la Ayuda necesaria, Gracias

Answer 1

Si utiliza la fórmula para el triple del ángulo:

$-8\sin^3(50)=2\sin(150)-6\sin(50)=1-6\sin(50)$

así que en su última raíz cuadrada se convierte en

$\sqrt{9\sin^2(50)-6\sin(50)+1}=\sqrt{(3\sin(50)-1)^2}=3\sin(50)-1$

como la última expresión es positiva. Así:

$3\sin(50)-1=a\sin(50)+b$

Ahora si $a$ $b$ son racionales/entero, tenemos $a=3$, $b=-1$ por lo $ab=-3$, pero en el caso de los números reales que no existe una única solución. Por ejemplo, si $a=0,b=3\sin(50)-1$ tenemos $ab=0$

En cualquier caso, de la última ecuación es mucho más fácil de trabajar que el primero :)

Answer 2

$$\sqrt{9-8\sin 50^\circ}$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin^350^\circ}$$

$$(\text{using }\sin^2x=1-\cos^x)$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin50^\circ(1-\cos^250^\circ)}$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin50^\circ+8\sin50^\circ\cos^250^\circ}$$

$$(\text{using }2\sin x\cos x=\sin2x)$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin50^\circ+4\sin100^\circ\cos50^\circ}$$

$$(\text{using }2\sin x\cos y=\sin(x+y)-\sin(x-y))$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-8\sin50^\circ+2(\sin150^\circ+\sin50^\circ)}$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-6\sin50^\circ+2\sin150^\circ}$$

$$(\text{using }\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2})$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{9\sin^250^\circ-6\sin50^\circ+1}$$

$$=\csc50^\circ\sqrt{(3\sin50^\circ-1)^2}$$

$$\text{(Taking the positive root.)}$$

$$=\csc50^\circ(3\sin50^\circ-1)$$

$$=3-\csc50^\circ$$ $$\text{So }a=3\text{ and }b=-1$$

Answer 3

No hay una única solución, vamos a ser capaces de proporcionar una solución como una función de la $a$. Tenga en cuenta que si $a = 0$,$ab=0$. De ahora en adelante, suponga $a \neq 0$.

Deje $x = \sin(50^\circ) \neq 0$$b = c/a$, de modo que queremos resolver para $c$. A continuación, la ecuación dada es $$ \sqrt{9 - 8 x} = a + \frac{c}{a x} \text{.} $$ Cuadrado, obtenemos $$ 9 - 8 x = a^2 + \frac{2 c}{x} + \frac{c^2}{a^2 x^2} \text{.} $$ (Y vamos a recordar para comprobar todas las soluciones de vuelta en la ecuación original ya que este paso puede haberse introducido soluciones espurias.) Multiplicar por $a^2 x^2$ y recoger todo lo de la derecha (luego de intercambio lados): $$ c^2 + 2a^2 x c + a^2 x^2( a^2 + 8 x - 9) = 0 \text{.} $$ La aplicación de la fórmula cuadrática, \begin{align*} c &= \frac{ -2 a^2 x \pm \sqrt{4 a^4 x^2 - 4a^2 x^2(a^2 + 8 x - 9)}}{2} \\ &= -a^2 x \pm a x \sqrt{a^2 - a^2 - (8 x - 9)} \\ &= -a^2 x \pm a x \sqrt{9 - 8 x} \text{.} \end{align*} Conectar de nuevo a la primera pantalla de arriba, vemos rápidamente que el $+$ elección de obras y el $-$ opción no. La conversión de volver a la original de los símbolos, la solución es $$ ab = -a \sin(50^\circ) \left(a - \sqrt{9 - 8 \sin(50^\circ)}\right) \text{.} $$ Felizmente, al $a=0$, esto también es $0$, por lo que no necesitamos para reportar la solución a trozos.