Calcular $E\left[ \Phi \left(X \right) \Phi \left(Y \right) \right]$ para una distribución normal bivariante

Question

Suponga que $X$ $Y$ siguen la distribución normal bivariante con correlación coeffcient $\rho > 0$, cero y la escala de los parámetros igual a uno. Estoy buscando una forma elegante para calcular

$$E\left[ \Phi \left(X \right) \Phi \left(Y \right) \right]$$

Puedo ver que el resultado es

$$E\left[ \Phi \left(X \right) \Phi \left(Y \right) \right] = \frac{1}{4} + \frac{\arcsin\left(\rho/2\right)} {\left(2\pi\right)}$$

pero no es obvio cómo uno llega allí. El Cdf todavía están uniformemente distribuidas RVs pero la dependencia complica las cosas. De no haber sido por la dependencia que teníamos la $\frac{1}{4}$ factor en el lado derecho, pero ahora la forma de la distribución tiene que ser tomado en cuenta.

He experimentado con la Ley de Expectativas Iteradas pero no me ha ido muy lejos. Yo no creo que una trigonométricas transformación sería útil. Por lo tanto, agradecería si alguien podría dar algunas pistas sobre cómo acercarse a este.

Gracias.

Answer 1

Que se refiere a la normalización de los bivariante Normal orthant probabilidad señalado por wolfies es debido al hecho de que $$\begin{align*} \mathbb{E}^{X,Y}\left[ \Phi \left(X \right) \Phi \left(Y \right) \right] &= \mathbb{E}^{X,Y} \overbrace{\left[\mathbb{E}^Z\{\mathbb{I}(Z\le X)\}\mathbb{E}^W\{\mathbb{I}(W\le Y)\}\right]}^{Z,W\sim\mathcal{N}(0,1)}\\ &=\mathbb{E}^{X,Y,Z,W} \left[\mathbb{I}(Z\le X) \mathbb{I}(W\le Y)\right]\\ &= \mathbb{E}^{X,Y,Z,W} \left[\mathbb{I}(Z-X\le 0) \mathbb{I}(W-Y\le 0)\right]\\ &= \mathbb{E}^{X_1,Y_1} \left[\mathbb{I}(X_1\le 0) \mathbb{I}(Y_1\le 0)\right]\\&= \mathbb{P}^{X_1,Y_1} \left[X_1\le 0,Y_1\le 0\right]\\&= \mathbb{P}^{X_1,Y_1} \left[X_1/\sqrt2\le 0,Y_1/\sqrt2\le 0\right]\\\end{align*} $$ donde $(X_1,Y_1)$ es ahora un vector normal bivariante con la correlación de $\rho/2$: $$\mathbb{E} \left[X_1Y_1\right]=\mathbb{E} \left[(Z-X)(W-Y)\right]=\mathbb{E} \left[XY \right]=\rho$$ y $$\mathrm{var}(X_1)=\mathrm{var}(Y_1)=\mathrm{var}(Z)+\mathrm{var}(X)=2$$