Demostrando que $S=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{Z}\}\cup\{0\}$ es compacto utilizando la definición de cubierta abierta

Question

Dejemos que $S=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{Z}\}\cup\{0\}$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ . Tengo que demostrar usando la definición de tapa abierta que esto es compacto. ¿Podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Dejemos que $S=\{0\}\cup \{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ . Queremos demostrar que $S$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ . Los siguientes ejercicios le llevarán no sólo a responder a su pregunta, sino también a desarrollar sus intuiciones sobre la compacidad.

Deberías hacer Ejercicio 1 porque la técnica que utilizarás para resolverla es idéntica a la que utilizarás para encontrar la respuesta a tu pregunta utilizando el comentario de Srivatsan más arriba.

Ejercicio 1 : Dejemos que $F$ sea un subconjunto finito de $\mathbb{R}$ . Demostrar que $F$ es compacto. (Sugerencia: esto es fácil, pero si te quedas atascado, entonces piensa en cómo demostrar que un conjunto de un solo elemento es compacto, que un conjunto de dos elementos es compacto, etc., hasta que te hagas a la idea de cómo abordar el caso general).

El siguiente ejercicio es importante porque precisa la idea clave de que el elemento $0\in S$ es crucial para la compacidad de $S$ . A continuación, puede precisar rigurosamente esta idea para desarrollar una prueba formal.

Ejercicio 2 : Demostrar que el conjunto $T=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ es no un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ . En particular, si queremos demostrar que su subconjunto $S$ de $\mathbb{R}$ es compacta, entonces tenemos que estudiar cuidadosamente el comportamiento de las cubiertas abiertas de $S$ en relación con $0\in S$ . (Sugerencia: si $n$ es un número entero positivo, entonces elige un intervalo abierto $U_n$ en $\mathbb{R}$ tal que $\frac{1}{n}\in U_n$ pero $\frac{1}{m}\not\in U_n$ para todos los enteros positivos $m\neq n$ . Demostrar que $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $S$ sin subcubierta finita).

El siguiente ejercicio no se utilizará en la respuesta a su pregunta, pero se recomienda que piense en cómo resolverlo porque subsume una importante intuición que es relevante para su pregunta.

Ejercicio 3 (Opcional): Deje que $K_1$ y $K_2$ sean subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ . Demostrar que $K_1\cup K_2$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ . Deducir que una unión finita de subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ (por inducción).

El siguiente ejercicio también es muy relevante para tu pregunta y debes saber cómo resolverlo:

Ejercicio 4 : Demuestre los siguientes resultados sobre las secuencias en $\mathbb{R}$ :

(a) la secuencia $\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $0$ en $\mathbb{R}$ ;

(b) si $\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia convergente en $\mathbb{R}$ con límite $s$ , entonces cada vecindad de $s$ contiene todos los términos de la sucesión, excepto un número finito de ellos $\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

Demostremos ahora finalmente que $S$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ . Tenemos que pensar en el papel que juega el elemento $0\in S$ por Ejercicio 2 . Si $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ es una cubierta abierta de $S$ donde $A$ es un conjunto de índices, entonces existe un índice $a\in A$ tal que $0\in U_a$ .

Ejercicio 5 : Tenga en cuenta que $U_a$ contiene todos los elementos de $S$ por Ejercicio 4 . La idea utilizada para resolver Ejercicio 1 le permitirá encontrar una subcubierta finita de $S$ . (Pista: $U_a$ debe ser un elemento de esta subcubierta finita).

Espero que esto ayude.

Answer 2

Dada cualquier cubierta abierta, $0$ pertenece a algún conjunto abierto $G$ de la cubierta, además tenemos que $\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ converge a $0$ . Entonces existe una vecindad $N$ de $0$ contenida en $G$ que contiene infinitos puntos de $S$ . Fuera de $N$ hay un número finito de puntos $p_1 ,p_2 , ... , p_k$ de $S$ . Tomando $G$ y un conjunto abierto de la cubierta que contiene $p_1$ que contenga $p_2$ y así sucesivamente. Por lo tanto, tenemos una subcubierta finita de $S$ y luego $S$ es compacto.