Demostrando que para $n\geq 3$ la desigualdad de $(n+1)^n<n^{(n+1)}$ tiene

Question

Mi objetivo es mostrar que $$(n+1)^n<n^{(n+1)}$$ for all $n \geq 3$. Traté de inducción, pero no funcionó. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Supongamos por contradicción que en algún momento hemos $$ (n-1)^n>n^{n-1},\text{ pero } (n+1)^n\geq n^{n+1} $$ y se multiplican los dos desigualdades.

Answer 2

Para el registro, todavía podemos hacerlo por inducción, no es tan agradable como otras inducción preguntas y las otras pruebas en esta página.

Vamos a empezar con el lado izquierdo de la $n+1$ de los casos. Vamos a la "fuerza en las' $n$ de los casos, por lo que podemos utilizar la hipótesis de inducción.

$$ \begin{align} (n+2)^{n+1} & = {(n+2)^{n+1}(n+1)^n \over (n+1)^n} \\ \\ & < {(n+2)^{n+1}n^{n+1} \over (n+1)^n} & \text{(induction hypothesis)} \end{align} $$

Ahora trabajamos al revés de lo que queremos mostrar para finalizar la inducción de paso. Queremos:

$$\begin{align} {(n+2)^{n+1}n^{n+1} \over (n+1)^n} &< (n+1)^{n+2} \\\\ \iff (n+2)^{n+1}n^{n+1} &< (n+1)^{2n+2} \\\\ \iff [n(n+2)]^{n+1} &< [(n+1)^2]^{n+1} \\\\ \iff n(n+2) &< (n+1)^2 \end{align}$$

Y esto es cierto para todos los $n$ (simplemente ampliar). Por lo tanto hemos terminado una vez que la nota es cierto para $n=3$.

Alternativamente, si sabemos que $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n = e < 3$, $(1+1/n)^n$ es creciente, podemos observar que la desigualdad es verdadera dividiendo por $n^n$. Pero estos hechos requieren más trabajo que una prueba directa.

Answer 3

Para $n\geq 3, n\in\mathbb{N}$ tenemos $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}<n^2$, por lo que $(n+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}n^{n-k}=1+\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}n^{n-k}< 1+\sum_{k=0}^{n-1} n^kn^{n-k}=1+n\cdot n^n=1+n^{n+1}$ Así que solo tenemos que mostrar $n^{n+1}\neq (n+1)^n$. Esto es claro, ya que uno y sólo uno de los números es impar.

Answer 4

Sugerencia Desde $\log$ es una función creciente, tomando el logaritmo de ambos lados y reorganizar el da en que la desigualdad es equivalente a $$\frac{\log n}{n} < \frac{\log (n + 1)}{n + 1}.$$ Así, no es suficiente para mostrar que la función $$x \mapsto \frac{\log x}{x}$$ es (estrictamente) decreciente en el intervalo de $[3, \infty)$, que es un sencillo ejercicio con la Primera Derivada de la Prueba.

Answer 5

Sugerencia: reescribir como $n>\sqrt[n+1]{(n+1)^n}$ e intente usar AM-GM de la desigualdad.

Más ayuda: $(n+1)^n=(n+1)^{n-1}\sqrt{n+1}^2$.

Otra referencia (por solicitud): AM-GM nos da $$\sqrt[n+1]{(n+1)^n}=\sqrt{(n+1)\dots(n+1)\sqrt{n+1}\sqrt{n+1}}<\frac{(n+1)+\dots+(n+1)+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)+2\sqrt{n+1}}{n+1}$$