Evaluación de la serie $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{2^{k+1}\left ( k+1 \right )^2}$ .

Question

Las siguientes series:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{2^{k+1}\left ( k+1 \right )^2}$$

surgió como paso intermedio del cálculo de una integral. La respuesta según Wolfram es $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{2^{k+1}\left ( k+1 \right )^2}=\ln 2 +\frac{\ln^2 2}{2}-\frac{\pi^2}{12}$ .

Por desgracia, no tengo ni idea de cómo atacar esto. Aunque tengo algunas sospechas de que debe estar conectado a algunas de las funciones especiales y que debemos diferenciar. (es decir ${\rm Li}_n$ )

Además, ese índice cero podría cambiarse fácilmente a $1$ ya que el primer sumando es, obviamente, cero. ¿Puede alguien ayudarme a obtener el resultado? Tanto el análisis real como el complejo son bienvenidos...

Answer 1

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k x^{k+1}}{(k+1)^2} $$

$$f'(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k x^{k}}{k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k+1} = \frac1{1-x} + \frac{\log{(1-x)}}{x}$$

La suma es entonces

$$f \left ( \frac12 \right ) = \int_0^{1/2} dx \left [\frac1{1-x} + \frac{\log{(1-x)}}{x} \right ] = \log{2} - \operatorname{Li}_2\left ( \frac12 \right )$$

Utilice el hecho de que $\operatorname{Li}_2(1/2) = \pi^2/12 - \log^2{2}/2$ y el resultado es el siguiente.