Existen $x_1, x_2, x_3$ tal que $\frac{1}{f'(x_1)} + \frac{1}{f'(x_2)} + \frac{1}{f'(x_3)} = 3$

Question

Deje $f$ ser un valor real de la función definida en $[a, b] \subset \mathbb{R}$, con $f(a) = a, f(b) = b$. Supongamos que $f$ es continua en a $[a, b]$ y diferenciable en a $(a, b)$. Demuestran que existen tres distintos puntos de $x_1, x_2, x_3$ tal que

$$\frac{1}{f'(x_1)} + \frac{1}{f'(x_2)} + \frac{1}{f'(x_3)} = 3$$

Mi corazonada es el uso de la media-teorema del valor o teorema de Rolle, de alguna manera. Pero estos teoremas sólo garantiza la existencia de un cierto punto, y no un triple de puntos, así que estoy atascado.

Answer 1

Deje $z_1$ $z_2$ $z_1<z_2$ ser tal que

$$f(z_1)=\frac{2a+b}{3}$$ y $$f(z_2)=\frac{a+2b}{3}$$

Entonces es fácil ver que las laderas formadas por la segements $$(a,a), (z_1,f(z_1)), (z_2,f(z_2)), (b,b)$$ sum in their reciprocals to $3$.

Es decir,

$$\left(\frac{\frac{b}{3}}{z_1-a}\right)^{-1}+ \left(\frac{\frac{b}{3}}{z_2-z_1}\right)^{-1}+ \left(\frac{\frac{b}{3}}{b-z_2}\right)^{-1}=3 $$ Esto da los puntos $x_1 \in (a,z_1)$ $x_2 \in (z_1,z_2)$ $x_3 \in (z_2,b)$ por el valor medio teorema.