Este es un clásico ejemplo de la convergencia en probabilidad, pero no casi seguramente, pero estoy tratando de demostrar rigurosamente como oposición a ", argumentando en contra de la" casi seguro de convergencia. $\DeclareMathOperator{\Pb}{\mathbf{P}}$ $\DeclareMathOperator{\Unif}{\mathsf{Uniform}}$
Definición 1
Una secuencia de variables aleatorias, $X_n$, se dice que converge en probabilidad si para cualquier número real $\epsilon > 0$ $$ \lim_{n \to \infty} \Pb(|X_n - X | > \epsilon ) \to 0$$
Definición 2
Una secuencia de variables aleatorias $X_n$, se dice que converge casi seguramente (un.s.) un límite si $$\Pb(\lim_{n \to \infty} X_n = X) = 1$$
Recordemos también que una secuencia de números reales $a_n$ converge a un límite de $a$ si por cualquier $\epsilon > 0$ existe un gran valor suficientemente $N$, de modo que $|a_n - a| < \epsilon $ todos los $n \geq N$. En otras palabras, la diferencia entre la secuencia y el límite es uniformemente pequeñas después de algún punto de la secuencia.
La Pregunta
Deje $U \sim \Unif(0,1)$. Para $n = 2^k + m$ donde $k \geq 0$ $0 \leq m \leq 2^k - 1$ definir las funciones $f_n : [0, 1) \to \{0,1\}$ como sigue $$ f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } {m \over 2^k} \leq x < {m +1 \over 2^k} \\ 0 & \text{o.w.} \end{casos} $$
¿Cuál es la distribución de $f_n(U)$$n = 2^k + m$$k \geq 0$$ 0 \leq m \leq 2^k - 1$?
El uso de la parte anterior, muestran que $X_n := f_n(U)$ converge a $0$ en la probabilidad.
Demostrar que para cualquier fijo $x \in (0,1)$, $f_n(x) = 1$ para un número infinito de valores de $n$. El uso de este hecho, razón por la $X_n = f_n(U)$ no converge a 0 casi seguramente.
Mi Trabajo
$f_n(U)$ es igual a $1$ con una probabilidad de ${1 \over 2^k}$ $0$ lo contrario. Este se encarga de la distribución, a continuación, mostrar que $X_n$ no converge en probabilidad, $$\Pb(|X_n - 0| > \epsilon) = \Pb(X_n = 1) = {1 \over 2^k}$$ As $n \to \infty$, for $k = \lfloor \log_2 n\rfloor $ we have that $k \to \infty$, hence $${1 \over 2^k} = \Pb(|X_n - 0| > \epsilon) \to 0$$
Esta es la parte que he visto a menudo ligeramente escamoteada. También es la parte que yo soy claro. Quiero arreglar un $x$, y mostrar que hay un $N$, de modo que $X_n$ todos los $n \geq N$ es uniformemente cerca de $0$. Sin embargo, realmente no estoy seguro de cómo hacer esto. He intentado trabajar con el binario expansiones de mi fijo $x$.
Gracias por la ayuda.
