Editado para corregir tres dimensiones límite:
Nudo grupos de torsión libre. (Esto se deduce del hecho de que el nudo se complementa $K(\pi,1)$'s. No sé de una manera más directa la prueba.) Los grupos que se describen son el resultado de la matanza de el centro de el toro nudo grupo. Esto le da a la orbifold grupo fundamental de la base de orbifold. Así, por ejemplo
$$\pi_1(S^3 - K_{p,q}) = \langle x, y \mid x^p = y^q \rangle$$
y el centro es generado por $x^p$. Por el camino, $x$ $y$ han sentido geométrico. Ellos son los núcleos de los dos sólidos toro componentes de $S^3 - T$. Por lo que el toro nudo grupo es uno de los primeros ejemplos de un producto gratuito con la fusión: $\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}$ $\ZZ \ast_\ZZ \ZZ$.
Ok, si matamos el centro (correspondiente a la trituración del círculo de las fibras de la Seifert fibrado espacio) entonces tenemos el grupo
$$\langle x, y \mid x^p = y^q = 1 \rangle.$$
Este es el producto libre de $\ZZ/p \ast \ZZ/q$ que usted está interesado en. Como se mencionó anteriormente, este es el orbifold grupo fundamental de la orbifold $S^2(p,q,\infty) = D^2(p,q)$: es decir, una esfera con tres orbifold puntos, de los pedidos $p$, $q$ y el infinito, o, equivalentemente, un disco con dos puntos de órdenes de $p$$q$. Ahora usted quiere tomar un límite de $q$$\infty$.
Hay un "límite" de nudos, a saber: $\lim_{q \to \infty} K_{p,q} = L_{2,2p}$ $(2,2p)$ toro enlace. Tenemos que
$$\pi_1(S^3 - L_{2,2p}) = \langle x, z \mid zx^p = x^pz \rangle.$$
Como era de esperar, $x^p$ genera el centro. Matar a $x^p$ da el grupo
$$\langle x, z \mid x^p = 1 \rangle \cong \ZZ/p \ast \ZZ$$
como se desee. También podemos tomar la base orbifolds de esta secuencia de Seifert fibrado espacios. En el límite obtenemos $S^2(p,\infty, \infty)$ o, equivalentemente, un anillo con un cono punto de orden $p$. De nuevo, esto ha orbifold grupo fundamental de la $\ZZ/p \ast \ZZ$. Una referencia de gran parte de este material es Peter Scott hermoso papel en los ocho Thurston geometrías. Tomando límites geométricos de los nudos se realiza normalmente en el hiperbólico: un ejemplo en Thurston del libro es que el $(2,q)$ giro de los nudos límite para la Whitehead enlace como $q$ tiende a infinito.
Podemos evitar orbifold fundamentales de los grupos, en lugar de tomar conectar sumas de lente de espacios: por ejemplo, la conexión suma de $\mathbb{RP}^3$ $S^2 \times S^1$ grupo fundamental de la $\ZZ/2 \ast \ZZ$. Para el caso, se puede obtener el mismo grupo fundamental al tomar el punto de unión de $\mathbb{RP}^2$ y un círculo, $S^1$. Sin embargo la respuesta anterior está directamente inspirado por su pregunta.
