Sistema de dos ecuaciones con cuatro variables de diophantine

Question

Encontrar todas las soluciones de enteros para el sistema:

$$\left\{\begin{array}{rcl}xy + vw &=& 5 \\ xv - yw &=& 6\end{array}\right.$$

Se supone que para ser solubles por estudiantes de 9 grado...

Answer 1

Por la identidad de Lagrange tenemos: $$ (xy+vw)^2+(xv-yw)^2 = (x^2+w^2)(v^2+y^2) $$ pero desde $5^2+6^2 = 61$ es un número primo número entero solución del sistema inicial de ecuaciones debe satisfacer: $$\left\{\begin{array}{rcl} x^2+w^2&=&1\\ v^2+y^2&=&61\end{array}\right.\quad\text{or}\quad \left\{\begin{array}{rcl} x^2+w^2&=&61\\ v^2+y^2&=&1,\end{array}\right.$$ así que una de las variables es igual a cero.

Answer 2

$$ (x + iw)(v+iy) = 6 + 5i$$

Esto implica (tomando el módulo del número complejo)

$$ (x^2 + w^2)(v^2 + y^2) = 61$$

Desde $61$ es el primer...

[Peso pesado: esto es sólo factorización $6+5i$ en los enteros de Gauss]