¿Sumas finitas de dos números llegue arbitrariamente cerca de cero?

Question

Dados dos números reales a$a$$b$, definir un $a$-$b$-suma como una suma finita de $a$'s y $b$'s, es decir, una suma:

$$m\cdot a + n\cdot b$$ donde $m,n$ son enteros no negativos.

Hay un par de números de $a<0$$b>0$, tal que para cada a $\epsilon>0$ hay un $a$-$b$-suma $S \in (0,\epsilon)$?

El reclamo es obviamente falso si $a$ $b$ son enteros, ya que en ese caso la suma es también entero así que no hay $S \in (0,1)$.

También es falso si $a$ $b$ son racionales, ya que en ese caso la suma es siempre un múltiplo entero de $\frac{1}{pq}$ (donde $p,q$ son los denominadores de $a,b$, respectivamente), por lo que no hay $S\in (0,\frac{1}{pq})$.

Hay un par de números irracionales que se hace la afirmación verdadera?

Answer 1

Tomar $a=\sqrt{2}$ y $b=-1$.

Del teorema de Kronecker es un entero positivo $c$ tal que: $$\{c\sqrt{2}\} < \epsilon $ $ (este caso del teorema puede demostrarse mediante un argumento simple pigeon-hole)

Ahora simplemente tome la siguiente $(a,b)$ de la suma:

$$c \cdot a + \lfloor c\sqrt{2} \rfloor \cdot b=c\sqrt{2}-\lfloor c\sqrt{2} \rfloor=\{c\sqrt{2} \}<\epsilon$ $ como quería.