En $A$ y $A^TA$ tienen los mismos valores propios

Question

Matrices Do $A$ y $A^TA$ tienen los mismos valores propios?

Creo que sí, pero no encuentro nada en Internet al respecto

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, si $A$ es simétrica, entonces si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^2$ es un valor propio de $A^TA = A^2$ que normalmente no será un valor propio para $A$ .

Como ejemplo concreto, veamos $A = \begin{bmatrix} 2\,\,\,0 \\0\,\,\,3\end{bmatrix}$ . Esta matriz tiene valores propios $2$ y $3$ . Sin embargo, $A^TA = $$\begin {bmatrix} 4\\N, \N, \N, 0 \\0\ ,\,\,9 \end {bmatrix} $ has eigenvalues $ 4 $ and $ 9$.

Answer 2

Si $\lambda$ es un valor propio de $\bf A$ con el vector propio $\bf x$ tenemos $\mathbf{Ax}=\lambda\bf x$

Entonces, $(\mathbf{A^\top A})\mathbf x=\mathbf A^\top(\lambda \mathbf x)=(\lambda \mathbf A^\top)\bf x$

Si $\bf A$ es simétrica, lo anterior se reduce a $(\mathbf{A^\top A})\mathbf x=\lambda^2\bf x$

Así que su afirmación sólo es cierta cuando $\mathbf A=\mathbf I$ $\quad($ lo que implica $\lambda=1)$ .

Answer 3

Creo que no tienen los mismos valores propios. Para la matriz $A=2I$ , $A$ tiene 2 como valor propio (valor propio múltiple), y $A^tA = 4I$ tiene 4 como valor propio.