Definición de la multiplicación de números complejos

Question

Sé que dados dos números complejos a$z_1 = a + bi$$z_2 = c + di$, la multiplicación de estos dos números se define como

$$ z_1*z_2 = (ac - bd) + i(ad + cb) $$

También sé que puedo deducir con facilidad que esta fórmula mediante la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación y considerando $i^2 = -1$.

Pero $i^2 = -1$ es una consecuencia de la definición de la multiplicación.

Entonces, la pregunta es: ¿Cómo los matemáticos definen la multiplicación de números complejos si no sabían el valor de $i^2$?

Answer 1

De hecho, $i^2=-1$ es coherente con la definición de la multiplicación, pero las cosas aparecido en el orden inverso.

Mientras se trabaja en la resolución de ecuaciones algebraicas (raíces de polinomios), se planteó la necesidad de considerar las raíces cuadradas de los números negativos. De ahí el "imaginario" símbolo $i=\sqrt{-1}$, lo cual es suficiente para representar la raíz cuadrada de cualquier número negativo $\sqrt{-a}$$\sqrt ai$.

A partir de allí, el álgebra de los números complejos fácilmente de la siguiente manera, el tratamiento de la $i$ como una variable y el uso de la regla de $i^2=-1$:

$$(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+b)+(c+d)i,$$ $$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

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La división no es mucho más difícil de inventar, el uso de un truco para activar el denominador a un número real,

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.$$

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Ahora, ¿qué acerca de la raíz cuadrada $\sqrt{a+bi}$ ?

Bien, intentemos solucionar $a+bi=(c+di)^2=c^2-d^2+2cdi$ o $$a=c^2-d^2\\b=2cd.$$ A continuación, $$a^2+b^2=c^4-2c^2d^2+d^4+4c^2d^2=c^4+2c^2d^2+d^4=(c^2+d^2)^2,$$ así que $$c^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2,\\d^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2.$$

Como se puede ver, $c$ $d$ siempre son números reales, por lo que no símbolo debe ser introducido a tomar raíces cuadradas. A partir de la última de las fórmulas, tenemos $$\sqrt i=\frac{1+i}{\sqrt2}.$$

Answer 2

Al ser relativamente nuevo en el sitio no estoy seguro de si me puede hacer referencia a un libro, pero hay un excelente texto llamado Visual Complejo Análisis por Tristán Needham, que explica el origen de los números complejos como un salto de fe que se requiere para hacer una solución general de la ecuación cúbica de trabajo. Principios matemáticos encontró que si sólo se podría suponer la existencia de este imaginario de la raíz cuadrada de -1, entonces podría felizmente cancelar algunos de los términos y dar la solución correcta. No es como mucha gente supongo que para dar la ecuación

$$ x^2 + 1 = 0 $$

una solución porque los matemáticos podía ver que no necesitaba uno. Yves' respuesta es más que el punto, pero yo recomiendo de todo corazón que usted echa un vistazo a este libro para la comprensión y diversión.

Answer 3

Creo que la mejor respuesta a tu pregunta es distinguir entre el orden histórico en el que la información desarrollada y el orden lógico en el que la información se presenta ahora.

En el caso de los números complejos, el orden histórico es que la gente imaginaba una raíz cuadrada de $-1$, le dio un nombre $i$, y se procedió a hacer la aritmética y el álgebra (e incluso de cálculo), utilizando el mismo computacional reglas que ellos ya sabían de los números reales. En particular, las reglas llevó a la fórmula general para la multiplicación de que usted ha citado en la pregunta.

En un riguroso moderno presentación del número complejo sistema, se establece, desde el principio, las definiciones de las operaciones aritméticas, incluyendo la fórmula general para la multiplicación. A continuación, el hecho de que $i^2=-1$ surge como un simple caso particular de la definición general.

La distinción entre el orden de descubrimiento y el orden de presentación no es una situación especial para los números complejos. Por ejemplo, en geometría, muchos hechos eran conocidos antes de Euclides sistematizado el tema y se deduce un gran número de hechos a partir de unos pocos axiomas. Los axiomas preceden a los teoremas en un desarrollo lógico, pero eso no quiere decir que los axiomas se descubrieron (y explícitamente) antes de los teoremas fueron.

Answer 4

Para resolver las ecuaciones, se nos ocurrió con ecuaciones como $x - 1 = 0$, lo $x$?, y los naturales resuelto fácilmente. Ahora, ¿qué acerca de la $x + 1 = 0$? Así que necesitamos a los números negativos. Espera, ¿qué acerca de la $2x = 1$? Así que necesitamos los números racionales. Por último, ¿qué acerca de la $x^2 = 2$? Así que necesitamos a los números irracionales.

Por último, ¿qué acerca de la $x^2 = -1$? Así que tenemos que inventar el "imaginario" de los números para resolver.

Pares de números. Ahora, se define un nuevo sistema de número, sólo que ahora no siempre son pares de números. A continuación, vaya a través de explicar cómo la adición y la multiplicación trabajo.

A continuación, nos muestran que en este sistema, se $(0,1)\times (0,1) = (-1,0)$, es decir, hemos definido un nuevo sistema, en virtud de la cual tiene sentido decir que el $\sqrt{-1} = i$, cuando se $i=(0,1)$. Y eso es realmente todo lo que hay para los números imaginarios: la definición de un nuevo sistema de numeración, lo que tiene sentido para su uso en la mayoría de los lugares. Y en virtud de ese sistema, no hay una respuesta a $\sqrt{-1}$.

Así tenemos las siguientes definiciones: $$(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)$$ $$(a, b)\times (c, d) = (ac-bd, ad+cb)$$

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Por ejemplo, el lenguaje de programación Python que implementa los números complejos y sus operaciones algebraicas. Tal vez usted puede ver una buena referencia en su código fuente.

Answer 5

Por definición,$i^2 = -1$. Su preocupación es acerca de cómo se puede incluso hablar de "$i*i$" a todos sin tener definido el operador "$*$". La respuesta es: no Nos importa por ahora lo "$*$" es, como siempre que no será un "$*$" del producto que satisface $i*i = -1$ y se generaliza la noción de producto en $\mathbb R$, es decir, $a*c = a \cdot c$ donde $a,c \in \mathbb R$ e "$\cdot$" es el producto real.

Ahora a definir lo que es un número complejo, y que se puede representar como $z = a + i b$. En la parte superior de que algunos brillantes persona definida una vez que el producto de dos de estos números para seguir también la conmutativa, asociativa y distributiva de las leyes: $z_1*z_2 = a*c + i(a*d + c*b) + (i*b)*(i*d) = a \cdot c + i(a \cdot d + c \cdot b) + (i*i)*(b \cdot d)$.

Ya hemos definido $i^2 = i*i = -1$, obtenemos el resultado: $z_1*z_2 = (ac - bd) + i(ad + cb)$, como usted ya sabe. Así que, para responder a su pregunta, $i^2 = -1$ no se sigue la regla del producto, sino que precede a la noción de que el producto en $\mathbb C$, se estableció una definición de "$*$" que sea compatible con ella.

Todos estuvieron de acuerdo en esta definición debido a que los "buenos"$^{1}$ propiedades de, por ejemplo, $\mathbb C$ es un anillo que se generaliza $\mathbb R$, puede representar números complejos geométricamente por vectores en $\mathbb R^2$ y, la mejor propiedad para mí, usted puede dividir estos vectores por cada uno de los otros!

$^{1}$: Permítanme explicar qué se entiende por "bonito". Primero, permítanme darles un ejemplo de un "feo" producto complejo: Definir un operador $**$ tal que $z_1 ** z_2 = ac-bd$ y lo llaman "complejo de cuasi-producto", también cumple con $i ** i = -1$ y, además, es coherente con el producto de dos números reales!: $z_1 * z_2 = a c$. Nadie puede detener el uso de ella, como un complejo de la multiplicación como bien, pero carece de muchos de los "niza" (geométrica o algebraica) de las propiedades, como, por ejemplo, la casi-producto de un tiempo real de un número complejo no será para "estirar" el vector complejo (en el $\mathbb R ^2$ de representación).