$\textbf{Problem}$ : Sea a $2n \times 2n$ se dará en la forma $M=\left[ {\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\ \end{array} } \right]$ donde cada bloque es un $n \times n$ matriz. Supongamos que $A$ es invertible y que $AC=CA$ . Utiliza la multiplicación por bloques para demostrar que $\det M= \det(AD-CB)$ . Dé un ejemplo para demostrar que esta fórmula no tiene por qué cumplirse si $AC \neq CA$
$\textbf{Proof}$ : Dejemos que $A,B,C,D,X \in \textbf{M}_n(K)$ tal que $A+BX$ es invertible. Para todo $Y \in \textbf{M}_n(K)$ tenemos:
$$\left[ {\begin{array}{cc} I_n & 0 \\ Y & I_n \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} I_n & 0 \\ X & I_n \\ \end{array} } \right]= \left[ {\begin{array}{cc} A+BX & B \\ YA+C+(YB+D)X & YB+D \\ \end{array} } \right].$$
Dejemos que $Y=-(C+DX)(A+BX)^{-1}$ . Por lo tanto:
$$YA+C+(YB+D)X=Y(A+BX)+(C+DX)=0.$$
Desde $\det\left[ {\begin{array}{cc} I_n & 0 \\ Y & I_n \\ \end{array} } \right]= \det\left[ {\begin{array}{cc} I_n & 0 \\ X & I_n \\ \end{array} } \right]= (\det(I_n))^2=1$ podemos concluir que:
\begin{align*} \det\left[ {\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\ \end{array} {\a6}[derecha]&=det\a6}[{\a6}[izquierda] \begin{array}{cc} A+BX & B \\ 0 & YB+D \\ \end{array} |derecha]\Nde la siguiente manera] &= \det(A+BX)\det(-(C+DX)(A+BX)^{-1}B+D). |align*}
En particular para $X=0$ tenemos:
\begin{align*} \det\left[ {\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right]&=\det(A)\det(-CA^{-1}B+D)=\det(-ACA^{-1}B+AD) \det(-ACA^{-1}B+AD) &=\det(-CAA^{-1}B+AD)=\det(AD-CB). \nd{align*}
Sólo quería que alguien verificara mi prueba y me ayudara con la segunda parte de esta pregunta.
Gracias de antemano
