Evaluar $\lim_{n\to\infty}2^n\left(a_{n}-b_{n}\right)$ para $ a_{n+1} =\dfrac{1}{2}(a_{n}+b_{n})$ y $b_{n+1} =\sqrt{a_{n}b_{n}}$

Question

Sean dos números positivos $a$ y $b$ con $a>b$ y se da que $a_{0}=a,b_{0}=b$ y definimos $$\begin{align} a_{n+1} & =\dfrac{1}{2}(a_{n}+b_{n})\\b_{n+1}& =\sqrt{a_{n}b_{n}}\end{align}$$

Demostrar que el límite $$\lim_{n\to\infty}2^n\left(a_{n}-b_{n}\right)$$ existe y lo evalúa.

Este enlace demuestra que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n-b_n}=0$ .

Answer 1

Una propiedad de la media aritmética-geométrica es que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$ . Además, su tasa de convergencia es superlineal lo que significa que converge más rápido que cualquier función exponencial. Por lo tanto, $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n-b_n)$ va a $0$ más rápido que $\lim_{n\rightarrow \infty} 2^n$ va a $\infty$ y $$ \lim_{n\rightarrow \infty} 2^n(a_n - b_n)=0. $$

Answer 2

Dejemos que $v_n=2^n(a_n-b_n)$ . Entonces $\large \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}}{\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}}$ . Como sabemos que $\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}>b$ lo que significa, $\large 0<\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}}{\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}}=\frac{{a_n}-{b_n}}{\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}\right)^2}<\frac{{a_n}-{b_n}}{\left(b\right)^2}\longrightarrow 0$ . Por lo tanto, mediante la prueba de la proporción tenemos $v_n\longrightarrow 0$ como $n\longrightarrow \infty$ .