Ningún Grupo Natural de la Estructura de Clases Conjugacy

Question

Es posible demostrar que no hay ningún grupo natural de la estructura de clases conjugacy en un grupo?

Alternativamente, para una ruta de acceso conectado espacio de $ X $, la $ [S^1,X] $ de los libres (unpointed) homotopy clases de bucles en $ X $ es en bijection con el conjunto de clases conjugacy de $ \pi_1(X) $. Es posible demostrar que esto no tiene ningún natural de la estructura del grupo?

Answer 1

Interpreto tu pregunta a decir lo siguiente: hay un functor, que voy a escribir $G \mapsto LG$, el envío de un grupo de $G$ para el conjunto de sus clases conjugacy. Es posible levantar este functor a un grupo de valores de functor?

La respuesta es no. Para demostrar esto, basta encontrar una inclusión $H \to G$ de los grupos de la inducción de una inclusión $LH \to LG$ de las clases conjugacy, pero que el orden de $LH$ no divide al orden de $LG$ (por lo que no puede ser un grupo de homomorphism con respecto a cualquier estructura de grupo en la $LH$ o $LG$). Un pequeño ejemplo es suficiente: la inclusión $C_2 \to S_3$ induce una inclusión $LC_2 \to LS_3$, pero el primero es de orden $2$ y el segundo es de orden $3$.

(Sin embargo, $LG$ es , naturalmente, un groupoidvalores functor; es decir, debe ser pensado como un regreso a la acción groupoid $G/G$ $G$ que actúa sobre sí mismo por conjugación. El geométrica realización de esta cosa es, entre otras cosas, la libre bucle espacio de $BG$.)