Es $\{a+bi: a,b \in \mathbb{Z} \} $ y $i^2=-1$ ¿un anillo bajo las operaciones habituales de adición y multiplicación? Tiene que ser cerrado bajo la adición y la multiplicación, lo que parece La adición debe ser conmutativa y asociativa, lo cual es bastante sencillo. Debe tener un elemento de identidad que no estoy seguro y debe tener un inverso aditivo que tampoco tengo claro La multiplicación debe ser asociativa, lo que debería ser, y entonces debe ser distributiva sobre la suma, lo que significa que a*(b+c)=a*b+a*c, lo que también creo que es.
Respuestas
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La identidad multiplicativa es $1+0i$ la identidad aditiva es $0+0i.$
La asociatividad (y la conmutatividad) de la suma y la multiplicación se derivan de las mismas propiedades de los números complejos en general (¡que deberías verificar si no lo has hecho antes!), al igual que la distributividad.
Se puede comprobar fácilmente que es multiplicativamente cerrada expandiendo $(a+bi)(c+di)$ para $a,b,c,d\in\mathbb Z.$
La inversa aditiva de $a+bi$ es $-a-bi.$
