Estoy atascado con este ejercicio: Tengo que encontrar para qué $x$ la estimación $ \displaystyle\sum\limits_ {i=0}^{n}x^i=O(n)$ se mantiene.
Me parece intuitivo que este debe ser el caso para todos $x \in (0,1)$ pero probar esto parece estar más allá de mis habilidades.
Intenté algunos enfoques diferentes como el habitual $ \displaystyle \lim\limits_ {x \to\infty } \frac {f(x)}{g(x)} = \text {some finite value}$ con $f(x)$ la fórmula de las sumas parciales. Intenté lo mismo con la regla del Hospital. También intenté argumentar que el máximo exponente de la suma debe ser $x^n$ y por lo tanto puedo decir que esto vale para todos $0 < x < 1$ pero eso no me parece muy convincente.
Se me han acabado las ideas de cómo resolver este problema y todo lo que intento me parece mal, espero que alguien de esta comunidad pueda ayudarme.
