¿Por qué nos muestran que las estructuras ' t isomorfo al exhibir una propiedad no compartida por uno de ellos?

Question

Si alguien me pregunta cómo probar que dos estructuras de orden $\langle A,\leq \rangle$ $\langle B,\preceq \rangle$ son isomorfos lo haría inmediatamente sugieren: trate de encontrar una función de $f:A\to B$ tal que $a \leq b$ fib $f(a) \preceq f(b)$, para todos los $a,b \in A$. Porque dadas las definiciones, esta es la forma natural de la prueba pasa.

Pero si la misma persona me pide que muestran que $\langle A,\leq \rangle$ $\langle B,\preceq \rangle$ no son isomorfos, entonces estoy en problemas. Me gustaría empezar lo que sugiere él: (1) recoger una función arbitraria $f:A\to B$ tal que $a \leq b$ fib $f(a) \preceq f(b)$, para todos los $a,b \in A$, (2) tratar de encontrar una contradicción. A continuación, la mayoría de las veces esto es donde me quedo atascado. Porque yo no encontrar más información de esta genérica de la asunción, y yo simplemente no puede comprobar todas las funciones posibles.

Esto comenzó con mi (fallido) intento de mostrar que $\langle \mathbb{N},< \rangle$ $\langle \mathbb{Z},< \rangle$ no son isomorfos.

Entonces busqué en google para algunas respuestas y me doy cuenta de que la mayoría de la gente de probar esa "$X$ $Y$ no son isomorfos" declaraciones mostrando una propiedad de $X$ (o $Y$) que no está satisfecho por $Y$ (o $X$). Como:

$\langle \mathbb{N},< \rangle$ es bien ordenado, $\langle \mathbb{Z},< \rangle$ no lo es. QED.

Pregunta: ¿por Qué esto es un enfoque legítimo? ¿Por qué es suficiente? Como un lógico, y considerando las definiciones, mi enfoque natural para mostrar que dos estructuras no son isomorfos, es asumir un genérico el fin de la preservación de asignación y, a continuación, derivar una contradicción. Cómo es esta propiedad de "enfoque" en armonía con eso?

Answer 1

El enfoque de"propiedad" genera una contradicción. La prueba completa tiende a seguir estas líneas:

Supongo que el % de estructuras $X$y $Y$ son isomorfos. Entonces existe un isomorfismo $f : X \rightarrow Y$ entre ellos. % De la propiedad $P$se conserva bajo isomorfismo (debido a alguna otra prueba), así como $X$ tiene propiedad $P$, así que debe $Y$. Pero $Y$ no tiene propiedad $P$. Por lo tanto, $X$ y $Y$ no son isomorfos.

Answer 2

Creo que contrapositivo es más bonito que el de contradicción.

\begin{align*}[\text{isomorphism}] &\implies [\text{some property}],\text{ so}\\ [\text{lack of that property}] &\implies [\text{no isomorphisms}].\end{align*}

Yo personalmente tuve problemas para separar los dos: me gustaría pensar, equivocadamente, que me había argumentado por la contradicción, cuando en realidad era un contrapositivo argumento. O, peor aún, me gustaría sully un buen contrapositivo argumento se convirtió en un enrevesado argumento por contradicción.

Así, en lugar de argumentar $$[\text{isomorphism}] \implies \text{contradiction},$$

es matemáticamente más 'limpia' (menos confuso, más satisfactoria) en mi opinión el uso de una propiedad conservada por isomorfismo en un contrapositivo argumento.

---

Elaborar, algunas pruebas por la contradicción no son ideales porque son innecesariamente hinchado, como que ya contienen suficiente lógica para un free-standing prueba de la contrapositivo. Esto es lo que no me di cuenta de que por varios años.

Por ejemplo, examinar la posibilidad de contradicción de los argumentos. Usted comienza por asumir que los objetos son isomorfos, por lo tanto al menos un isomorfismo existe, y elegir uno. Este isomorfismo debe conservar ciertas propiedades. Pero te aviso de que un cierto conservado por isomorphisms posee propiedad para sólo uno de los dos objetos! Esto contradice claramente la existencia de su elección de isomorfismo, por tanto, no se isomorphisms existe, por tanto, los dos no son isomorfos.

La que iba a ser demostrado ha sido golpeado como a un caballo muerto, porque hemos observado que

• Cualquier isomorfismo conservar ciertas propiedades

• Una de esas propiedades es no compartida por ambos objetos.

Estas dos observaciones son suficientes para un contrapositivo argumento; no se necesita ser envuelta en una prueba por contradicción.

Answer 3

Esto es debido a que isomorfo estructuras primaria equivalente (de hecho, cada isomorfismo es un elemental de incrustación). Observe que el recíproco no es cierto. Por ejemplo, hay muchas órdenes que son primarias equivalente, pero no isomorfos, a $(\mathbb{N},<)$.

Otro método importante para demostrar la no-existencia de un isomorfismo es el uso de functors en el sentido de la categoría de teoría. Es un hecho general que functors preservar isomorfo objetos. Esto es especialmente útil en la topología algebraica, donde uno utiliza varios functors $\mathsf{Top} \to \mathsf{Ab}$ (y similares) con el fin de distinguir espacios topológicos.