¿Hay una diferencia entre un modelo y una representación?

Question

Estoy pensando en modelos en lógica aquí, frente a por ejemplo, el grupo de representaciones.

Hay una diferencia entre un modelo y una representación?

No se explican los dos al mismo tiempo?

Un modelo que da una interpretación, pero esto podría ser visto como un efecto secundario para el trabajo que hacen. Usted tiene algunos de los axiomas abstractos y/modelo para darse cuenta de ellos con ciertos objetos, que son parte de otra teoría (por ejemplo, el concepto de par ordenado es modelada a través de conjuntos y $\in$). No veo una diferencia real para, por ejemplo, un grupo de representación, cuando tenga algo de abstracto multiplicación de leyes y estos vienen a vivir a través de una representación de la matriz de una dimensión específica, dicen.

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También,

¿Qué tipo de realizaciones hacer representable functors?

Me refiero a más allá de la realización de grupos como el de arriba.

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Edición, a partir de los comentarios: Como un ejemplo sería considerar la posibilidad de enteros $\mathbb{Z}$ y construir el factor grupo $\mathbb{Z/2Z}$, esta sería la representación de lo que se llama $\mathbb{Z_2}$ (abstractamente definido por las cuatro relaciones entre sus dos elementos). La lógica analógica sería la escenografía y la idea abstracta de una pareja con su caracterización de la función.

Answer 1

Bien, quiero decir, son representaciones de diferentes tipos de cosas. Pero uno puede pensar tanto como functors fuera de una determinada categoría.

Para el grupo de representaciones, un grupo de $G$ puede ser considerado como una categoría con un objeto y morfismos de los elementos de la $G$. Un grupo de acción de $G$ es entonces, precisamente, de un functor $G \to \text{Set}$; del mismo modo, una representación lineal de $G$ es precisamente un functor $G \to \text{Vect}$. Hay un sinfín de variaciones sobre este.

Para los modelos, una colección de axiomas deben describir categoría que es a grandes rasgos la libre categoría que contiene un modelo de los axiomas. Esto es más fácil de explicar para los axiomas bastante agradable que puede ser descrito mediante un Lawvere teoría, pero creo que este formalismo es más general que la que. Por ejemplo, la teoría de los grupos puede ser descrita utilizando un Lawvere teoría que se describe aquí. Dado un Lawvere teoría de la $C$, un modelo de $C$ es entonces, precisamente, de un producto-la preservación de functor $C \to \text{Set}$. De nuevo hay un sinfín de variaciones sobre este. Ver el artículo de Wikipedia sobre categórica de la lógica.

En el primer ejemplo, el representable functor le da la acción de $G$ sobre sí mismo (ejercicio), que es a grandes rasgos la libre $G$-acción sobre un elemento. En el segundo ejemplo, el representable functors para la Lawvere la teoría de grupos de darle libre de grupos sobre conjuntos finitos (ejercicio).

Edit: en Lugar de reducirlo todo a la categoría de teoría quizás debería reducir todo a la lógica. Yo reclamo que las representaciones son un caso especial de los modelos.

Por ejemplo, supongamos $G$ ser un grupo. Escribir un primer orden de la teoría con una única operación para cada elemento de a $G$ y uno universalmente cuantificado axioma para cada entrada de $g \times h = gh$ en la tabla de multiplicación de $G$. A continuación, un modelo de esta teoría es, precisamente, un conjunto en el que $G$ actos. (Una similar, pero más complicado de la construcción da lineal representaciones también como un caso especial de los modelos.) Por supuesto, mucho de esto es redundante: basta con especificar una operación de cada elemento de un conjunto fijo de generadores de $G$ y un axioma para cada relación en un fijo de la presentación en relación a los generadores.