Derivar una ecuación paramétrica de una esfera (en el primer octante) con una muesca en el centro.

Question

Estaba tratando de derivar la ecuación de la superficie de una esfera donde hay una hendidura en el medio de la superficie. Estoy dibujando en el primer octante. Quiero que la hendidura se forme cambiando el radio.

la ecuación del radio:

$$r(x,y) = \frac{1}{2}(\cos(2\pi K x) + \cos(2\pi K y))\quad K = 1 \quad (K = \text{número de hendiduras})$$

y la ecuación paramétrica de la superficie se ve así: $$ \begin{eqnarray} f_x(u,v) &=& r(u,v) \cos(u\frac{\pi}{2}) \cos(v\frac{\pi}{2})\\ f_y(u,v) &=& r(u,v) \cos(u\frac{\pi}{2}) \sin(v\frac{\pi}{2})\\ f_z(u,v) &=& r(u,v) \sin(u\frac{\pi}{2})\\ && \text{donde,}\quad 0 \leq u,v \leq 1 \end{eqnarray} $$

Si grafico $r(x,y)$ dentro de $0 \leq x,y \leq 1$, obtengo esto:

Ahora, si dibujo la ecuación paramétrica, obtengo esto:

Para hacer un ajuste adecuado, cambio $r(x,y)$ a esto: $$r(x,y) = 5 + (\cos(2\pi K x) + \cos(2\pi K y))\quad K = 1$$

Ahora, si lo dibujo nuevamente, obtengo esto:

Aún así, si miras la parte superior del eje z, aparece una curva que no quiero. Además, la escala de la esfera ha cambiado, el radio se ha cambiado a $[0.0, 7.0]$. Pero lo que necesito es una esfera unitaria en el primer octante sin ninguna curva en la parte superior y el punto más bajo de la hendidura que aparezca en la coordenada $(0.5,0.5,0.5)$ (en lugar de algo como $(3.5, 3.5, 2.xx)$). ¿Cómo lo hago adecuadamente? Además, ¿puedo hacerlo sin que $r()$ sea una superficie? Por favor ayuda.

Answer 1

Considera la función $\rho(\phi) = 1-d + d\tanh^2 c\phi$. Esto tiene una mella de profundidad $d$ en $\phi=0. (Hay muchas otras funciones posibles $\rho(\phi)$. Por ejemplo, algo de la forma $\rho(\phi) = (1-d+c^2\phi^2)/(1+c^2\phi^2)$ también debería funcionar bien.) El parámetro $c$ es aproximadamente el ancho angular inverso de la mella. Considera $${\bf r} = \left(\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right)^T = \left(\begin{array}{ccc} \rho(\phi)\cos\theta\sin\phi & \rho(\phi)\sin\theta\sin\phi & \rho(\phi)\cos\phi\end{array}\right)^T.$$ Queremos rotar la mella en el primer octante. Esto se puede lograr multiplicando a la izquierda por la matriz $R$, donde $$R = R_z(\pi/4)R_x(\arccos1/\sqrt3) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\sqrt{\frac{2}{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right).$$ Un gráfico paramétrico para $c=5$ y $d$ variando entre $0$ y $1-\sqrt3/2$ da lo siguiente:

Answer 2

No tengo las herramientas para dibujar mi propuesta, pero aún creo que puedo (con suerte) darle algunas indicaciones.

Intenta una función $r(u,v)$ que cumpla con estas restricciones:

• $\forall 0\le v\le 1$, $r(0,v) = 1$
• $\forall 0\le u\le 1$, $r(u,0) = 1 = r(u,1)$
• EDICIÓN: mi primera proposición fue "$\min_{u,v} r(u,v) = r(0.5,0.5)$", pero me di cuenta después de leer la respuesta de @user26872 que el mínimo no debería estar en $u=0.5=v$, sino en $v=0.5$ y $u=\frac{2\arccos\left(\sqrt{\frac 23}\right)}{\pi}\approx 0.39$. Nota que la diferencia en el argumento del arco coseno proviene de la diferencia en la parametrización.

Las dos primeras restricciones hacen que $r(u,v)$ sea $1$ en el límite del octante. La tercera obliga a que la parte más profunda de la cavidad esté en el eje "diagonal" (no tengo idea de cómo se llama esto en inglés, pero básicamente es la línea con la ecuación cartesiana $x=y=z$).

También, si quieres que tu cavidad parezca como si una pequeña esfera chocara con la esfera unidad, probablemente necesitas tener una "simetría radial/cilíndrica" alrededor de tus mínimos. Con tu parametrización $u,v$ es un poco difícil expresar esta simetría correctamente...

De todos modos, ¿por qué no intentas esto? $$ r(u,v)=1-D\sin\left(\frac{u}{u_\text{min}}\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(v\pi\right) $$ donde $D$ debería ser una constante menor que 1. (EDICIÓN $u_\text{min}\approx 0.39$ es el valor anterior.) Tienes $r(u_\text{min},0.5)=1-D. El problema con esta versión es que creo (?) que no tiene la "simetría radial".

Ahora, con respecto a tu pregunta "¿se puede hacer esto sin que $r\left(\ .\right)$ sea una superficie"... Bueno, sin importar cómo lo hagas, tu forma final no puede tener un radio constante, por lo que siempre tendrá sentido definir una función $r$ que se parezca a una superficie. Pero tu definición de la forma no necesita definir primero a $r$, así que dependiendo de lo que quieras hacer con la ecuación paramétrica, puede haber formas más rápidas o más simples.

EDICIÓN 2
En cuanto a la "simetría radial" que mencioné, una forma posible de expresarla sería garantizar que $$ r(u,v) = f\left( \cos\left( u\frac\pi 2\right)\cos\left(v\frac\pi 2\right) +\cos\left( u\frac\pi 2\right)\sin\left(v\frac\pi 2\right) +\sin\left( u\frac\pi 2\right) \right) $$ donde $f$ es una función de $\mathbb R$ a $\mathbb R^+$.

O dicho en palabras simples, si $(u_1,v_1)$ y $(u_2,v_2)$ tienen el mismo valor para esa suma de coseno-seno, entonces deben tener los mismos valores de radio, $r(u_1,v_1)=r(u_2,v_2)$. De hecho, lo que expresa la suma es que en la esfera no perturbada, los parámetros $(u_1,v_1)$ y $(u_2,v_2)$ corresponden a puntos en el mismo círculo (en la esfera) alrededor del eje $x=y=z$.

Pero tener una simetría radial perfecta junto con las restricciones anteriores no es muy agradable, así que normalmente es mejor tener alguna aproximación en algún lugar, especialmente si se trata de una aplicación gráfica.

Answer 3

No has sido muy preciso en lo que estabas buscando exactamente, pero esto debería servir como una buena base.

La idea es usar un Gaussiano para hacer la hendidura. El número de hendiduras en $\theta$ está denotado por $n_\theta$, y $n_\phi$ en $\phi.

Luego, introduciendo algunos parámetros que controlan la profundidad ($d$), "nitidez" ($s$), puedes usar algo así:

$$r(\theta,\phi)=1-d\exp\big(s(\sin(n_\theta \theta)^2+\sin(n_\phi \phi)^2)\big)$$

en la parametrización de la esfera $r(\cos(\theta)\sin(\phi),\sin(\theta)\sin(\phi),\cos(\theta))$.

El siguiente código de Mathematica proporciona un ejemplo y se puede adaptar para producir las siguientes animaciones. El resultado es mejor cuando $n_\theta$ y $n_\phi$ están cerca.

d = .2; c = 4.; d = 0.03; s = 1.2; np = 8; nt = 5.;
r[theta_, 
   phi_] := (1 - d*Exp[-s*(-Sin[np*phi]^2 - Sin[nt*theta]^2)]);
ParametricPlot3D[
 r[theta, phi]*{Cos[theta] Sin[phi], Sin[theta] Sin[phi], 
   Cos[phi]}, {theta, 0, 2 Pi}, {phi, 0, Pi}, Boxed -> False, 
 Axes -> False, Mesh -> None, PlotPoints -> 25, 
 PlotLegends -> {"np=" <> ToString[np] <> ", nt=" <> ToString[2 nt]}]

Influencia de la profundidad $d$: