Cómo probar que $C(a)=C(a^3)$ cuando $|a|=5$

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar el siguiente resultado:

"Supongamos $a$ pertenece a un grupo y $|a|=5$. Demostrar que $C(a)=C(a^3)$."

($C(a)$ denota el centralizador de $a$)

La típica forma de hacer esto sería mostrar que $C(a) \subseteq C(a^3)$$C(a^3) \subseteq C(a)$. La primera dirección es fácil: Vamos a $g \in C(a)$ ser arbitraria. A continuación,$ga^3=aga^2=a^2ga=a^3g$, lo $g \in C(a^3)$$C(a) \subseteq C(a^3)$.

Estoy teniendo un momento difícil con la otra dirección, incluyendo ver cómo $|a|=5$ trabaja en ella.

El problema también pide a encontrar un elemento $a$ a partir de algunos grupos que $|a|=6$$C(a) \ne C(a^3)$. Esto me hace curioso: para un elemento $a$, es cierto que $C(a)=C(a^i)$ al $\gcd(|a|,i)=1$, y por lo tanto $|a|=|a^i|$?

Te agradecería una PISTA sobre cómo proceder para demostrar el problema original, y la generalización de si es cierto.

Gracias.

Answer 1

Han utilizado ese $$|a^3|=\frac{|a|}{\gcd(|a|,3)}= |a|\text{ ? }$$

Supongamos ahora que $xa^3=a^3x$. Tenga en cuenta que $(a^3)^2=a$ $$xa^3a^3=a^3xa^3$$

Se puede terminar?

SPOILER

$$xa=xa^6=xa^3a^3=a^3xa^3=a^3a^3x=a^6=ax$$

Como por su curiosidad: se puede probar que $$|a^k|=\frac{|a|}{(|a|,k)} $$

Tenga en cuenta que han $|a|=|a^k| \iff \langle a\rangle=\langle a^k\rangle$, y a partir de lo anterior, $\iff (|a|,k)=1$, y como anon, sucintamente, comentó: "$x$ viajes con $a$ si y sólo si $x$ viajes con todo el poder de $a$ si y sólo si $x$ centraliza $\langle a\rangle$. Por lo tanto $C(a)=C(b)$ siempre $a$ $b$ generar el mismo subgrupo cíclico."

Answer 2

Ambos $a$ y $a^3$ generan el subgrupo cíclico de orden 5 a que ambos pertenecen. Intentar escribir $a$ $a^3$; es decir, si $b=a^3$, express $a$ en términos de $b$. Podemos hacerlo porque los poderes de $a$ en la declaración del problema están relativamente alto a $5$ (y así generan el subgrupo cíclico $\langle a \rangle$.