Demostrar que si B es simplemente conectado, entonces p es un Homeomorfismo.

Question

Deje $p: E \rightarrow B$ una cubierta mapa con $E$ trayectoria-conectado. Mostrar que si $B$ es simplemente conectado, a continuación, $p$ es un homeomorphism.

Estoy revisando para ver si mi solución es errónea.

Desde $p$ es una cubierta mapa es un continuo, surjective y abrir mapa. Eso significa que todo lo que tiene que hacer para demostrar que $p$ es un homeomorphism es para mostrar que es inyectiva.

Así, por $p(a) = p(b)$$a,b \in E$, queremos mostrar que $a = b$.

Ahora, desde la $E$ es la ruta de acceso conectado existe un camino de $a$ $b$denota por $\psi$.

A continuación, $p\circ\psi$ es un bucle en $B$ desde $p(a) = p(b)$.

Pero desde $B$ es simplemente conectado a $p\circ\psi$ es homotópica a un punto.

Por lo $\psi$ debe ser homotópica a un punto en el que nos eleva y, por tanto,$a = b$.

Por lo $p$ es inyectiva y por lo tanto un homeomorphism.

Answer 1

La prueba funciona bien, pero debe decir que $p\psi$ es homotópica rel extremos o ruta de acceso homotópica a una constante ruta de acceso y, desde una ruta de acceso homotopy levanta a una ruta de homotopy, $ψ$ es el camino homotópica a una constante mapa, demasiado, lo que implica $a=b$.
Con poco más de esfuerzo, se puede demostrar que si un bucle $\phi$ $b_0$ $B$ está en la imagen $p_*(\pi_1(E,e_0))$ (que es un subgrupo de $\pi_1(B,b_0)$), $ϕ$ ascensores de un bucle en $E$. Por si $[ϕ]\in p_*(\pi_1(E,e_0))$, entonces no es un bucle en el $\lambda$ $e_0$ tal que $pλ$ es el camino homotópica a $ϕ$, y este homotopy levanta a una ruta de homotopy $λ\simeqψ$, donde $ψ$ es la elevación de $ϕ$$e_0$.
En particular esto implica que un null-homotópica $ϕ=pψ$ ascensores para un bucle de $ψ$ desde $[ϕ]=0$ es siempre en $p_*(\pi_1(E,e_0))$, y esto $ψ$ es homotópica a una constante ruta a través de la elevación de la nullhomotopy de $ϕ$.